Seja
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen}(x-y)}{|x|+|y|}, & |x|+|y| \neq 0 \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
f é contínua na origem? Por quê?

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{\operatorname{sen}(x-y)}{|x|+|y|}, & |x|+|y|\neq0,\\[6pt] 0,& (x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: f é contínua na origem (0,0)? Ou seja, queremos saber se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0.
Informações dadas que usaremos: a fórmula da função para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0.]

Passo 2

Lembrete (definição e estratégia): a função f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Uma maneira prática de testar se o limite não existe é mostrar duas sequências (ou dois caminhos) (x_n,y_n)\to(0,0) e (\tilde x_n,\tilde y_n)\to(0,0) tais que os limites de f ao longo dessas sequências sejam diferentes. Se isso ocorrer, o limite total não existe e, portanto, f não é contínua na origem.
Também usaremos o fato clássico
\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1,
que permite aproximar \operatorname{sen} t por t quando t é pequeno.

Passo 3

Avaliar f ao longo da reta y=x. Substituindo y=x na expressão de f para (x,y)\neq(0,0) obtemos
f(x,x)=\frac{\operatorname{sen}(x-x)}{|x|+|x|}=\frac{\operatorname{sen} 0}{2|x|}=\frac{0}{2|x|}=0.
Portanto, ao aproximar a origem pela reta y=x (ou por qualquer sequência (x_n,x_n)\to(0,0)), o valor de f é sempre 0 e o limite ao longo dessa reta é
\lim_{(x,x)\to(0,0)} f(x,x)=0.

Passo 4

Avaliar f ao longo da reta y=-x. Substituindo y=-x (com x\neq0) temos
f(x,-x)=\frac{\operatorname{sen}(x-(-x))}{|x|+|{-x}|}=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2|x|}.
Agora considere aproximar a origem por pontos com x>0 pequenos (por exemplo x=\tfrac{1}{n}>0). Para x>0 temos |x|=x, logo
f(x,-x)=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x} = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}.
Aplicando o limite pequeno-ângulo com t=2x,
\lim_{x\to0^+} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x} = \lim_{t\to0^+}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Assim, aproximando a origem ao longo da metade da reta y=-x com x\to0^+, o limite de f é 1:
\lim_{\substack{(x,-x)\to(0,0)\\\ x>0}} f(x,-x)=1.

Passo 5

Observação adicional (para enfatizar a dependência do sentido): se aproximarmos pela mesma reta y=-x mas com x<0 (ou seja, vindo do lado oposto), então |x|=-x e
f(x,-x)=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2|x|}=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{-2x}=-\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\xrightarrow[x\to0^-]{}-1.
Ou seja, ao longo de direções opostas nessa reta obtemos limites 1 e -1.

Passo 6

Conclusão lógica: já que ao aproximar (0,0) pela reta y=x o limite de f é 0 e ao aproximar pela reta y=-x (com x\to0^+) o limite é 1, os limites ao longo de caminhos diferentes são distintos. Logo o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Como o limite não existe, não é igual ao valor f(0,0)=0. Portanto f não é contínua na origem.

Resposta

Não. f não é contínua em (0,0), pois \lim_{(x,x)\to(0,0)}f(x,x)=0 enquanto \lim_{(x,-x)\to(0,0),\,x>0}f(x,-x)=1; esses limites diferentes mostram que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe.

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