A pergunta é: f é contínua na origem (0,0)? Ou seja, queremos saber se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0.
Informações dadas que usaremos: a fórmula da função para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0.]
Passo 2
Lembrete (definição e estratégia): a função f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Uma maneira prática de testar se o limite não existe é mostrar duas sequências (ou dois caminhos) (x_n,y_n)\to(0,0) e (\tilde x_n,\tilde y_n)\to(0,0) tais que os limites de f ao longo dessas sequências sejam diferentes. Se isso ocorrer, o limite total não existe e, portanto, f não é contínua na origem.
Também usaremos o fato clássico
\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1,
que permite aproximar \operatorname{sen} t por t quando t é pequeno.
Passo 3
Avaliar f ao longo da reta y=x. Substituindo y=x na expressão de f para (x,y)\neq(0,0) obtemos
Observação adicional (para enfatizar a dependência do sentido): se aproximarmos pela mesma reta y=-x mas com x<0 (ou seja, vindo do lado oposto), então |x|=-x e
Ou seja, ao longo de direções opostas nessa reta obtemos limites 1 e -1.
Passo 6
Conclusão lógica: já que ao aproximar (0,0) pela reta y=x o limite de f é 0 e ao aproximar pela reta y=-x (com x\to0^+) o limite é 1, os limites ao longo de caminhos diferentes são distintos. Logo o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Como o limite não existe, não é igual ao valor f(0,0)=0. Portanto f não é contínua na origem.
Resposta
Não. f não é contínua em (0,0), pois \lim_{(x,x)\to(0,0)}f(x,x)=0 enquanto \lim_{(x,-x)\to(0,0),\,x>0}f(x,-x)=1; esses limites diferentes mostram que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe.