Considerando o campo escalar, tem-se:
\varphi(x, y, z)=x y^{2} z e \vec{A}=x z \hat{i}-x y^{2} \hat{j}+y z^{2} \hat{k}, achar:
\frac{\partial^{3}}{\partial x^{2} \partial y}(\varphi \vec{A}) no ponto (2,-1,1).

Passo 1

O enunciado dá as funções e pede uma derivada mista de terceira ordem. Dados fornecidos:
\varphi(x,y,z)=x y^{2} z e \vec{A}(x,y,z)=x z\,\hat{i}-x y^{2}\,\hat{j}+y z^{2}\,\hat{k}.
A tarefa é calcular
\frac{\partial^{3}}{\partial x^{2}\partial y}\bigl(\varphi \vec{A}\bigr)
e avaliar esse vetor derivada no ponto (2,-1,1).
Ou seja, devemos primeiro formar o produto escalar \varphi\vec{A} componente a componente e depois aplicar a derivada parcial mista de ordem três a cada componente; o resultado será um vetor com três componentes.

Passo 2

Primeiro calculamos as componentes do produto \varphi\vec{A}. Multiplicamos \varphi escalar por cada componente de \vec{A}:
(\varphi\vec{A})_x=\varphi\cdot(xz)=x^{2}y^{2}z^{2},
(\varphi\vec{A})_y=\varphi\cdot(-x y^{2})=-x^{2}y^{4}z,
(\varphi\vec{A})_z=\varphi\cdot(y z^{2})=x y^{3} z^{3}.

Passo 3

Explicando o operador \dfrac{\partial^{3}}{\partial x^{2}\partial y}: por teorema de igualdade das derivadas mistas (funções polinomiais são suaves), a ordem das derivadas não importa, então podemos calcular primeiro \dfrac{\partial}{\partial y} e depois \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}. Ou seja, para cada componente f fazemos \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right). Também vamos usar a regra do poder: a derivada de u^{n} em relação a uma variável é n u^{n-1} vezes a derivada de u (aqui u geralmente é uma variável simples, então fica n u^{n-1}) e que, em derivadas parciais, tratamos as outras variáveis como constantes.

Passo 4

Calculamos a derivada mista da primeira componente (\varphi\vec{A})_x=x^{2}y^{2}z^{2}.
  1. Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{2}z^{2}\bigr)=x^{2}\cdot 2y\cdot z^{2}=2x^{2}y z^{2}.
Aqui usei a regra do poder em y^{2}.
  1. Agora aplico \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}. Primeiro derivada em x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y z^{2}\bigr)=2\cdot 2x\cdot y z^{2}=4x y z^{2}.
  1. Segunda derivada em x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x y z^{2}\bigr)=4 y z^{2}.
Portanto a componente x da derivada mista é
\frac{\partial^{3}}{\partial x^{2}\partial y}(\varphi\vec{A})_x=4 y z^{2}.

Passo 5

Calculamos a derivada mista da segunda componente (\varphi\vec{A})_y=-x^{2}y^{4}z.
  1. Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-x^{2}y^{4}z\bigr)=-x^{2}\cdot 4y^{3}\cdot z=-4x^{2}y^{3}z.
  1. Derivada em x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-4x^{2}y^{3}z\bigr)=-4\cdot 2x\cdot y^{3}z=-8x y^{3}z.
  1. Segunda derivada em x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-8x y^{3}z\bigr)=-8 y^{3}z.
Portanto a componente y da derivada mista é
\frac{\partial^{3}}{\partial x^{2}\partial y}(\varphi\vec{A})_y=-8 y^{3}z.

Passo 6

Calculamos a derivada mista da terceira componente (\varphi\vec{A})_z=x y^{3} z^{3}.
  1. Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{3} z^{3}\bigr)=x\cdot 3y^{2}\cdot z^{3}=3x y^{2} z^{3}.
  1. Derivada em x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x y^{2} z^{3}\bigr)=3 y^{2} z^{3}.
  1. Segunda derivada em x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3 y^{2} z^{3}\bigr)=0,
pois não há mais x na expressão. Assim a componente z da derivada mista é
\frac{\partial^{3}}{\partial x^{2}\partial y}(\varphi\vec{A})_z=0.

Passo 7

Agora avaliamos cada componente no ponto (2,-1,1).
Para a componente x:
4 y z^{2}\Big|_{(2,-1,1)}=4\cdot(-1)\cdot 1^{2}=-4.
Para a componente y:
-8 y^{3}z\Big|_{(2,-1,1)}=-8\cdot(-1)^{3}\cdot 1=-8\cdot(-1)=8.
Para a componente z:
0\Big|_{(2,-1,1)}=0.
Portanto o vetor derivada mista avaliado em (2,-1,1) é (-4,\,8,\,0).

Resposta

(-4,\,8,\,0)

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