Considerando o campo escalar, tem-se: \varphi(x, y, z)=x y^{2} z e \vec{A}=x z \hat{i}-x y^{2} \hat{j}+y z^{2} \hat{k}, achar: \frac{\partial^{3}}{\partial x^{2} \partial y}(\varphi \vec{A}) no ponto (2,-1,1).
Passo 1
O enunciado dá as funções e pede uma derivada mista de terceira ordem. Dados fornecidos: \varphi(x,y,z)=x y^{2} z e \vec{A}(x,y,z)=x z\,\hat{i}-x y^{2}\,\hat{j}+y z^{2}\,\hat{k}.
A tarefa é calcular
e avaliar esse vetor derivada no ponto (2,-1,1).
Ou seja, devemos primeiro formar o produto escalar \varphi\vec{A} componente a componente e depois aplicar a derivada parcial mista de ordem três a cada componente; o resultado será um vetor com três componentes.
Passo 2
Primeiro calculamos as componentes do produto \varphi\vec{A}. Multiplicamos \varphi escalar por cada componente de \vec{A}:
Explicando o operador \dfrac{\partial^{3}}{\partial x^{2}\partial y}: por teorema de igualdade das derivadas mistas (funções polinomiais são suaves), a ordem das derivadas não importa, então podemos calcular primeiro \dfrac{\partial}{\partial y} e depois \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}. Ou seja, para cada componente f fazemos \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right). Também vamos usar a regra do poder: a derivada de u^{n} em relação a uma variável é n u^{n-1} vezes a derivada de u (aqui u geralmente é uma variável simples, então fica n u^{n-1}) e que, em derivadas parciais, tratamos as outras variáveis como constantes.
Passo 4
Calculamos a derivada mista da primeira componente (\varphi\vec{A})_x=x^{2}y^{2}z^{2}.