Considerando um campo de velocidades dado por
: Determinar a expressão da função corrente para este escoamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de mecânica dos fluidos onde precisamos encontrar a função corrente para um determinado campo de velocidades. O campo de velocidades dado é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a relação entre o campo de velocidades e a função corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função corrente (ou função de corrente). Em um fluxo bidimensional, a função corrente
está relacionada aos componentes das velocidades nas direções x e y pela seguinte relação:
Isso significa que a componente x da velocidade é igual à derivada parcial de
em relação a y, e a componente y é igual ao negativo da derivada parcial de
em relação a x.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso campo de velocidades. Temos:
Vamos começar com a primeira equação para encontrar
.
Passo 4
Integrando a primeira equação em relação a y:
Aqui,
é uma função arbitrária de x que aparece porque a integração é em relação a y.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação para determinar
. Sabemos que:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 6
Integrando
em relação a x:
Onde C é a constante de integração. Podemos ignorar a constante, pois a função corrente é determinada até uma constante arbitrária.
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Podemos fatorar -2x:
Mas, dependendo da convenção, podemos multiplicar por -1 para simplificar:
Resposta
A função corrente para o escoamento dado é
.