Considerando um campo de velocidades dado por v=-2 x de : Determinar a expressão da função corrente para este escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de mecânica dos fluidos onde precisamos encontrar a função corrente para um determinado campo de velocidades. O campo de velocidades dado é v=-2 x de. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a relação entre o campo de velocidades e a função corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função corrente (ou função de corrente). Em um fluxo bidimensional, a função corrente psi(x, y) está relacionada aos componentes das velocidades nas direções x e y pela seguinte relação:
v = nabla times (psi k) = ( partial psipartial y ) i - ( partial psipartial x ) j
Isso significa que a componente x da velocidade é igual à derivada parcial de psi em relação a y, e a componente y é igual ao negativo da derivada parcial de psi em relação a x.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso campo de velocidades. Temos:
vx = -2x = partial psipartial y vy = 2y + 2 = -partial psipartial x
Vamos começar com a primeira equação para encontrar psi.

Passo 4

Integrando a primeira equação em relação a y:
partial psipartial y = -2x Rightarrow psi(x, y) = -2x y + f(x)
Aqui, f(x) é uma função arbitrária de x que aparece porque a integração é em relação a y.

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação para determinar f(x). Sabemos que:
vy = 2y + 2 = -partial psipartial x = -( partialpartial x (-2x y + f(x)) ) = 2y - f'(x)
Igualando as duas expressões para vy:
2y + 2 = 2y - f'(x) Rightarrow 2 = -f'(x) Rightarrow f'(x) = -2

Passo 6

Integrando f'(x) = -2 em relação a x:
f(x) = -2x + C
Onde C é a constante de integração. Podemos ignorar a constante, pois a função corrente é determinada até uma constante arbitrária.

Passo 7

Agora, substituímos f(x) na expressão de psi:
psi(x, y) = -2x y - 2x
Podemos fatorar -2x:
psi(x, y) = -2x(y + 1)
Mas, dependendo da convenção, podemos multiplicar por -1 para simplificar:
psi(x, y) = 2x(y + 1)

Resposta

A função corrente para o escoamento dado é psi(x, y) = 2x(y + 1).

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