Determine a família de funções
para o campo de velocidades dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a família de funções
para o campo de velocidades dado por
. Isso está relacionado ao conceito de função de corrente em mecânica dos fluidos, que nos ajuda a descrever o fluxo do fluido. Vamos precisar usar derivadas parciais para relacionar as componentes da velocidade com a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a função de corrente
está relacionada ao campo de velocidades. Em duas dimensões, as componentes da velocidade podem ser expressas em termos de
da seguinte forma:
Isso significa que a velocidade na direção
é a derivada parcial de
em relação a
, e a velocidade na direção
é o negativo da derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos aplicar essas relações ao campo de velocidades dado:
Vamos resolver essas equações para encontrar
.
Passo 4
Começamos com a primeira equação:
Para encontrar
, integramos em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração que pode depender de
.
Passo 5
Agora, usamos a segunda equação para determinar
:
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Então, temos:
Isso significa que
é constante.
Passo 6
Portanto, a função de corrente
é:
Como estamos procurando por uma família de funções, incluímos a constante generica
.
Resposta
A família de funções
é dada por:
onde
é uma constante arbitrária.