Determine a família de funções Psi para o campo de velocidades dado por v=(x^2-y^2) de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a família de funções Psi para o campo de velocidades dado por v = (x^2 - y^2) de. Isso está relacionado ao conceito de função de corrente em mecânica dos fluidos, que nos ajuda a descrever o fluxo do fluido. Vamos precisar usar derivadas parciais para relacionar as componentes da velocidade com a função Psi.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a função de corrente Psi está relacionada ao campo de velocidades. Em duas dimensões, as componentes da velocidade podem ser expressas em termos de Psi da seguinte forma:
vx = partial Psipartial y e vy = -partial Psipartial x
Isso significa que a velocidade na direção x é a derivada parcial de Psi em relação a y, e a velocidade na direção y é o negativo da derivada parcial de Psi em relação a x.

Passo 3

Vamos aplicar essas relações ao campo de velocidades dado:
vx = x^2 - y^2 = partial Psipartial y
vy = -2xy = -partial Psipartial x
Vamos resolver essas equações para encontrar Psi.

Passo 4

Começamos com a primeira equação:
partial Psipartial y = x^2 - y^2
Para encontrar Psi, integramos em relação a y:
Psi = integral (x^2 - y^2) , dy = x^2y - y^33 + C(x)
Aqui, C(x) é a constante de integração que pode depender de x.

Passo 5

Agora, usamos a segunda equação para determinar C(x):
vy = -2xy = -partial Psipartial x
Calculamos a derivada de Psi em relação a x:
partial Psipartial x = 2xy + C'(x)
Então, temos:
-2xy = - (2xy + C'(x)) implies -2xy = -2xy - C'(x) implies C'(x) = 0
Isso significa que C(x) é constante.

Passo 6

Portanto, a função de corrente Psi é:
Psi = x^2y - y^33 + constante
Como estamos procurando por uma família de funções, incluímos a constante generica C.

Resposta

A família de funções Psi é dada por:
Psi = x^2y - y^33 + C
onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados