Quais dos seguintes campos de velocidades correspondem a escoamentos incompressíveis:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre campos de velocidades e descobrir quais deles correspondem a escoamentos incompressíveis. O conteúdo que vamos usar aqui envolve a divergência de um campo vetorial, que nos ajuda a determinar se um fluxo é incompressível. Para resolver, a gente vai calcular a divergência de cada campo de velocidade apresentado e ver se é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento ser incompressível. Um escoamento é incompressível quando a divergência do campo de velocidade é igual a zero em todos os pontos. A divergência é uma operação matemática que mede a taxa de “expansão” ou “contração” de um campo vetorial em um ponto. Matematicamente, para um campo de velocidade
, a divergência é dada por:
Se
, o escoamento é incompressível.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de cada alternativa:
Alternativa a)
Aqui, temos
e
. Não há componente em
, então
.
Calculando a divergência:
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.
Alternativa b)
Aqui,
e
.
Calculando a divergência:
A divergência depende de
e não é zero em geral, então o escoamento não é incompressível.
Alternativa c)
Aqui,
e
.
Calculando a divergência:
Primeiro, vamos expandir e
:
Primeiro, vamos expandir
Agora, derivadas parciais:
Somando:
A divergência não é zero a menos que
, então o escoamento não é incompressível.
Alternativa d)
Aqui,
,
e
.
Calculando a divergência:
Calculando cada termo:
Somando:
A divergência é zero, então o escoamento é incompressível.
Alternativa e)
Aqui, as coordenadas são polares. A divergência em coordenadas polares é dada por:
Neste caso,
e
. Não há dependência de
, então
.
Calculando:
Então:
A divergência é zero, então o escoamento é incompressível.
Alternativa f)
Novamente, em coordenadas polares:
Aqui,
e
.
Calculando cada termo:
Somando:
A divergência é zero, então o escoamento é incompressível.
Resposta
Os campos de velocidades que correspondem a escoamentos incompressíveis são:
- a)
- d)
- e)
- f)