Quais dos seguintes campos de velocidades correspondem a escoamentos incompressíveis:
a) v=(x+y) de
b) v=(4 x+y) de
c) v=(x+2 y) x t de
d) v=x y z t de
e) v=-q / 2 pi r de
f) v=U cos theta[1-(a / r)^2] de

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre campos de velocidades e descobrir quais deles correspondem a escoamentos incompressíveis. O conteúdo que vamos usar aqui envolve a divergência de um campo vetorial, que nos ajuda a determinar se um fluxo é incompressível. Para resolver, a gente vai calcular a divergência de cada campo de velocidade apresentado e ver se é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento ser incompressível. Um escoamento é incompressível quando a divergência do campo de velocidade é igual a zero em todos os pontos. A divergência é uma operação matemática que mede a taxa de “expansão” ou “contração” de um campo vetorial em um ponto. Matematicamente, para um campo de velocidade v = vx de, a divergência é dada por:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z
Se nabla cdot v = 0, o escoamento é incompressível.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de cada alternativa:

Alternativa a)

v = (x + y) de
Aqui, temos vx = x + y e vy = x - y. Não há componente em z, então vz = 0.
Calculando a divergência:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y = partial (x + y)partial x + partial (x - y)partial y = 1 + (-1) = 0
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.

Alternativa b)

v = (4x + y) de
Aqui, vx = 4x + y e vy = x - y^2.
Calculando a divergência:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y = partial (4x + y)partial x + partial (x - y^2)partial y = 4 + (-2y) = 4 - 2y
A divergência depende de y e não é zero em geral, então o escoamento não é incompressível.

Alternativa c)

v = (x + 2y) x t de
Aqui, vx = (x + 2y)xt e vy = (2x - y)yt.
Calculando a divergência:
Primeiro, vamos expandir vx e vy:
vx = x(x + 2y)t = (x^2 + 2xy)t
vy = y(2x - y)t = (2xy - y^2)t
Agora, derivadas parciais:
partial vxpartial x = partial (x^2 + 2xy)tpartial x = (2x + 2y)t
partial vypartial y = partial (2xy - y^2)tpartial y = (2x - 2y)t
Somando:
nabla cdot v = (2x + 2y)t + (2x - 2y)t = 4x t
A divergência não é zero a menos que x = 0, então o escoamento não é incompressível.

Alternativa d)

v = x y z t de
Aqui, vx = x y z t, vy = -x y z t^2 e vz = z^22(x t^2 - y t).
Calculando a divergência:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z
Calculando cada termo:
partial vxpartial x = y z t
partial vypartial y = -x z t^2
partial vzpartial z = partialpartial z ( z^22(x t^2 - y t) ) = z(x t^2 - y t)
Somando:
nabla cdot v = y z t - x z t^2 + z(x t^2 - y t) = 0
A divergência é zero, então o escoamento é incompressível.

Alternativa e)

v = -q2pi r de
Aqui, as coordenadas são polares. A divergência em coordenadas polares é dada por:
nabla cdot v = 1r partialpartial r (r vr) + 1r partial vthetapartial theta
Neste caso, vr = -q2pi r e vtheta = K2pi r. Não há dependência de theta, então partial vthetapartial theta = 0.
Calculando:
partialpartial r (r vr) = partialpartial r ( r (-q2pi r) ) = partialpartial r (-q2pi) = 0
Então:
nabla cdot v = 1r times 0 + 1r times 0 = 0
A divergência é zero, então o escoamento é incompressível.

Alternativa f)

v = U cos theta [1 - (ar)^2 ] de
Novamente, em coordenadas polares:
nabla cdot v = 1r partialpartial r (r vr) + 1r partial vthetapartial theta
Aqui, vr = U cos theta [1 - (ar)^2 ] e vtheta = -U sin theta [1 + (ar)^2 ].
Calculando cada termo:
partialpartial r (r vr) = partialpartial r ( r U cos theta [1 - (ar)^2 ] ) = U cos theta partialpartial r ( r - a^2r ) = U cos theta (1 + a^2r^2)
partial vthetapartial theta = partialpartial theta ( -U sin theta [1 + (ar)^2 ] ) = -U cos theta [1 + (ar)^2 ]
Somando:
nabla cdot v = 1r U cos theta (1 + a^2r^2) - 1r U cos theta (1 + a^2r^2) = 0
A divergência é zero, então o escoamento é incompressível.

Resposta

Os campos de velocidades que correspondem a escoamentos incompressíveis são:
  • a)
  • d)
  • e)
  • f)

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