Considerando o campo de velocidades para o escoamento potencial sobre um cilindro de comprimento “infinito” (desconsiderando os efeitos das pontas),
\begin{aligned} V_{r}(r, \theta) & =U_{\infty} \cos \theta\left(1-\frac{R^{2}}{r^{2}}\right) \\\ V_{\theta}(r, \theta) & =-U_{\infty} \sin \theta\left(1+\frac{R^{2}}{r^{2}}\right) \end{aligned}
a. Determine o campo de pressões na superfície do cilindro.
b. Avalie a força de pressão (componentes horizontal e vertical), por unidade de comprimento do cilindro, considerando escoamento potencial (mostre que ambas são nulas neste caso).
c. Sabendo que a camada limite descola a um ângulo de, aproximadamente, 120^{\circ} para camada limite turbulenta e desconsiderando o arreste de cisalhamento, calcule o coeficiente de arraste aproximado sob estas hipóteses.
d. Avalie a força vertical sobre um “semi-cilindro” (considere que a pressão se mantem constante igual a p_{\infty} na superfície inferior do cilindro).

Passo 1

O enunciado trata do escoamento potencial estacionário em torno de um cilindro de raio R e comprimento “infinito”, em que as componentes do campo de velocidades em coordenadas polares (r,\theta) são
V_{r}(r,\theta)=U_{\infty}\cos\theta\Bigl(1-\frac{R^{2}}{r^{2}}\Bigr), \quad V_{\theta}(r,\theta)=-U_{\infty}\sin\theta\Bigl(1+\frac{R^{2}}{r^{2}}\Bigr).
Precisamos usar o teorema de Bernoulli para fluxo incompressível e integrar a pressão na superfície do cilindro para obter as forças de pressão (horizontal e vertical). Depois, introduzimos um ângulo de separação de \theta_{s}=120^\circ para estimar o coeficiente de arraste e, por fim, calculamos a força vertical sobre um semi-cilindro supondo pressão constante p_{\infty} na face inferior.

Passo 2

Para determinar a pressão na superfície do cilindro usamos Bernoulli entre um ponto em r\to\infty e um ponto em r=R. Como em r\to\infty temos V\to U_{\infty} e p\to p_{\infty}, vale
p + \tfrac12\,\rho\,V^{2} = p_{\infty} + \tfrac12\,\rho\,U_{\infty}^{2}.
Na superfície r=R temos V_{r}(R,\theta)=0 e
V_{\theta}(R,\theta)=-U_{\infty}\sin\theta\Bigl(1+\frac{R^{2}}{R^{2}}\Bigr)=-2\,U_{\infty}\sin\theta.
Logo
p(R,\theta) = p_{\infty} + \tfrac12\,\rho\bigl(U_{\infty}^{2}-V_{\theta}^{2}\bigr) = p_{\infty} + \tfrac12\,\rho\,U_{\infty}^{2}\Bigl(1-4\sin^{2}\theta\Bigr).

Passo 3

As componentes da força de pressão por unidade de comprimento são
F_{x} =-R\! \int_{0}^{2\pi}p(R,\theta)\,\cos\theta\,d\theta, \quad F_{y} =-R\! \int_{0}^{2\pi}p(R,\theta)\,\sin\theta\,d\theta.
Como p(R,\theta)=p_{\infty}+\tfrac12\rho U_{\infty}^{2}(1-4\sin^{2}\theta), o termo constante p_{\infty} gera integrais de \int\cos\theta\,d\theta e \int\sin\theta\,d\theta sobre 0 a 2\pi, que valem zero. O termo proporcional a \sin^{2}\theta também gera integral nula por simetria. Concluímos
F_{x}=0, \quad F_{y}=0.

Passo 4

Supondo que a camada-limite se descole em \theta_{s}=120^\circ e que a partir daí a pressão na parede valha p_{\infty}, a força de arraste por unidade de comprimento (positiva no sentido do escoamento) é a componente x do resultado de
\Delta p(\theta) = p(R,\theta)-p_{\infty} = \tfrac12\,\rho\,U_{\infty}^{2}\bigl(1-4\sin^{2}\theta\bigr).
Mantemos apenas o trecho não separado \theta\in[0,\theta_{s}] e o correspondente espelhado [2\pi-\theta_{s},2\pi]. Fazendo a integração e normalizando pelo fator dinâmico \tfrac12\,\rho\,U_{\infty}^{2}\,(2R), obtém-se
C_{D} = \frac{D}{\tfrac12\,\rho\,U_{\infty}^{2}(2R)} = 2\Bigl[\sin\theta_{s}-\tfrac{2}{3}\sin^{3}\theta_{s}\Bigr].
Para \theta_{s}=120^\circ temos \sin\theta_{s}=\tfrac{\sqrt3}{2}, \sin^{3}\theta_{s}=\tfrac{3\sqrt3}{8}, daí
\sin\theta_{s}-\tfrac{2}{3}\sin^{3}\theta_{s} = \tfrac{\sqrt3}{2} -\tfrac{2}{3}\,\tfrac{3\sqrt3}{8} = \tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac{\sqrt3}{2} = 0{,}433\quad(\text{corrigido numericamente}),
e
C_{D}=2\times 0{,}433\approx0{,}87.

Passo 5

Para a força vertical sobre o semi-cilindro superior, consideramos:
– na parte \theta\in[0,\pi], pressão p(R,\theta);
– na parte inferior \theta\in[\pi,2\pi], p=p_{\infty}.
Escrevendo
F_{y} =-R\!\int_{0}^{2\pi}p\,\sin\theta\,d\theta = \bigl[F_{y,\text{superior}}+F_{y,\text{inferior}}\bigr],
calcula-se
F_{y,\text{inferior}} =-R\,p_{\infty}\!\int_{\pi}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta =2R\,p_{\infty},
F_{y,\text{superior}} =-R\!\int_{0}^{\pi}\Bigl[p_{\infty}+\rho U_{\infty}^{2}\cos2\theta\Bigr]\sin\theta\,d\theta =-2R\,p_{\infty} +\tfrac{2}{3}\,\rho\,U_{\infty}^{2}\,R.
Somando, o termo em p_{\infty} cancela e sobra
F_{y} = \tfrac{2}{3}\,\rho\,U_{\infty}^{2}\,R.

Resposta

a) p(R,\theta)=p_{\infty}+\tfrac12\,\rho\,U_{\infty}^{2}\bigl(1-4\sin^{2}\theta\bigr).
b) F_{x}=0 e F_{y}=0.
c) C_{D}\approx0{,}87.
d) F_{y\,(\text{semi-cilindro})}=\tfrac{2}{3}\,\rho\,U_{\infty}^{2}\,R (por unidade de comprimento).

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