Partindo da equação a conservação da QM na forma integral, \frac{d(m \boldsymbol{V})_{S i s t}}{d t}=\frac{\partial}{\partial t} \iiint_{V} \rho \boldsymbol{V} d V+\oiint_{A} \boldsymbol{V} \rho \boldsymbol{V} \cdot \hat{n} d A,
a. Obtenha a equação de conservação geral da QM na forma diferencial (equação de Cauchy)
b. Considerando o tensor tensão para um fluido newtoniano em um escoamento incompressível, \overline{\bar{\tau}}=-p \overline{\bar{I}}+ \mu\left(\nabla \boldsymbol{V}+\nabla \boldsymbol{V}^{T}\right), obtenha as equações de Navier-Stokes, isto é, as equações de conservação da massa e QM na forma diferencial, para um escoamento incompressível, de um fluido newtoniano, com viscosidade constante.

Passo 1

O enunciado parte da forma integral da conservação da quantidade de movimento (QM) num volume de controle móvel,
\frac{d(m\boldsymbol{V})_{\rm Sist}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}\iiint_{V}\rho\,\boldsymbol{V}\,dV + \oiint_{A}\rho\,\boldsymbol{V}\,(\boldsymbol{V}\cdot\hat{n})\,dA,
e pede:
a) derivar a forma diferencial geral (equação de Cauchy)
b) para fluido newtoniano incompressível com \overline{\bar{\tau}}=-p\,\overline{\bar{I}}+\mu(\nabla\boldsymbol{V}+\nabla\boldsymbol{V}^T), obter as equações de Navier–Stokes (continuidade e momentum diferencial).
Vamos usar o teorema da divergência, o teorema de transporte de Reynolds e as definições de forças de massa de controle.

Passo 2

Introduzimos as forças atuantes no volume de controle:
– Força de volume (corpo)
\iiint_{V}\rho\,\boldsymbol{f}\,dV,
– Força de superfície (tensão)
\oiint_{A}\overline{\bar{\tau}}\cdot\hat{n}\,dA.
A conservação da QM exige que a variação de momento seja igual à soma dessas forças, então
\frac{\partial}{\partial t}\iiint_{V}\rho\,\boldsymbol{V}\,dV + \oiint_{A}\rho\,\boldsymbol{V}\,(\boldsymbol{V}\cdot\hat{n})\,dA = \iiint_{V}\rho\,\boldsymbol{f}\,dV + \oiint_{A}\overline{\bar{\tau}}\cdot\hat{n}\,dA.

Passo 3

Aplicamos o teorema da divergência ao termo convectivo e ao termo de tensões:
\oiint_{A}\rho\,\boldsymbol{V}\,(\boldsymbol{V}\cdot\hat{n})\,dA = \iiint_{V}\nabla\!\cdot(\rho\,\boldsymbol{V}\,\boldsymbol{V})\,dV, \quad \oiint_{A}\overline{\bar{\tau}}\cdot\hat{n}\,dA = \iiint_{V}\nabla\!\cdot\overline{\bar{\tau}}\,dV.
Substituindo na equação integral e coletando tudo num único volume:
\iiint_{V}\Bigl[ \frac{\partial(\rho\,\boldsymbol{V})}{\partial t} + \nabla\!\cdot(\rho\,\boldsymbol{V}\,\boldsymbol{V}) - \nabla\!\cdot\overline{\bar{\tau}} - \rho\,\boldsymbol{f} \Bigr]dV =0.
Como V é arbitrário, o integrando anula:
\frac{\partial(\rho\,\boldsymbol{V})}{\partial t} + \nabla\!\cdot(\rho\,\boldsymbol{V}\,\boldsymbol{V}) = \nabla\!\cdot\overline{\bar{\tau}} + \rho\,\boldsymbol{f}.

Passo 4

Reescrevemos o termo convectivo usando a continuidade geral \displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\!\cdot(\rho\,\boldsymbol{V})=0:
\nabla\!\cdot(\rho\,\boldsymbol{V}\,\boldsymbol{V}) = \rho\,(\boldsymbol{V}\!\cdot\!\nabla)\boldsymbol{V} + \boldsymbol{V}\,\bigl(\nabla\!\cdot(\rho\,\boldsymbol{V})\bigr) = \rho\,(\boldsymbol{V}\!\cdot\!\nabla)\boldsymbol{V} - \boldsymbol{V}\,\frac{\partial\rho}{\partial t}.
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\frac{\partial(\rho\,\boldsymbol{V})}{\partial t} + \nabla\!\cdot(\rho\,\boldsymbol{V}\,\boldsymbol{V}) = \rho\,\frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} + \rho\,(\boldsymbol{V}\!\cdot\!\nabla)\boldsymbol{V}.
A equação de Cauchy fica então
\rho\Bigl(\frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} + (\boldsymbol{V}\!\cdot\!\nabla)\boldsymbol{V}\Bigr) = \nabla\!\cdot\overline{\bar{\tau}} + \rho\,\boldsymbol{f}.

Passo 5

Para escoamento incompressível de fluido newtoniano com \rho constante e \nabla\!\cdot\boldsymbol{V}=0:
– Continuidade:
\nabla\!\cdot\boldsymbol{V}=0.
– Tensão de Newton:
\overline{\bar{\tau}} = -p\,\overline{\bar{I}} + \mu\bigl(\nabla\boldsymbol{V}+\nabla\boldsymbol{V}^T\bigr).
Calculamos
\nabla\!\cdot\overline{\bar{\tau}} = -\nabla p + \mu\,\nabla\!\cdot(\nabla\boldsymbol{V}+\nabla\boldsymbol{V}^T).
Como \mu é constante e \nabla\!\cdot\boldsymbol{V}=0,
\nabla\!\cdot(\nabla\boldsymbol{V})=\nabla^2\boldsymbol{V}, \quad \nabla\!\cdot(\nabla\boldsymbol{V}^T)=\nabla(\nabla\!\cdot\boldsymbol{V})=0,
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\nabla\!\cdot\overline{\bar{\tau}} = -\nabla p + \mu\,\nabla^2\boldsymbol{V}.
Substituindo na equação de Cauchy:

Resposta

Continuidades e Navier–Stokes para escoamento newtoniano incompressível e viscosidade constante:
\nabla\!\cdot\boldsymbol{V}=0,
\rho\Bigl(\frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} + (\boldsymbol{V}\!\cdot\!\nabla)\boldsymbol{V}\Bigr) = -\nabla p + \mu\,\nabla^2\boldsymbol{V} + \rho\,\boldsymbol{f}.

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