Partindo da equação a conservação da QM na forma integral,
,
a. Obtenha a equação de conservação geral da QM na forma diferencial (equação de Cauchy)
b. Considerando o tensor tensão para um fluido newtoniano em um escoamento incompressível,
, obtenha as equações de Navier-Stokes, isto é, as equações de conservação da massa e QM na forma diferencial, para um escoamento incompressível, de um fluido newtoniano, com viscosidade constante.
a. Obtenha a equação de conservação geral da QM na forma diferencial (equação de Cauchy)
b. Considerando o tensor tensão para um fluido newtoniano em um escoamento incompressível,
Passo 1
O enunciado parte da forma integral da conservação da quantidade de movimento (QM) num volume de controle móvel,
e pede:
a) derivar a forma diferencial geral (equação de Cauchy)
b) para fluido newtoniano incompressível com , obter as equações de Navier–Stokes (continuidade e momentum diferencial).
Vamos usar o teorema da divergência, o teorema de transporte de Reynolds e as definições de forças de massa de controle.
a) derivar a forma diferencial geral (equação de Cauchy)
b) para fluido newtoniano incompressível com
Vamos usar o teorema da divergência, o teorema de transporte de Reynolds e as definições de forças de massa de controle.
Passo 2
Introduzimos as forças atuantes no volume de controle:
– Força de volume (corpo)
– Força de volume (corpo)
– Força de superfície (tensão)
A conservação da QM exige que a variação de momento seja igual à soma dessas forças, então
Passo 3
Aplicamos o teorema da divergência ao termo convectivo e ao termo de tensões:
Substituindo na equação integral e coletando tudo num único volume:
Como
é arbitrário, o integrando anula:
Passo 4
Reescrevemos o termo convectivo usando a continuidade geral
:
Logo
A equação de Cauchy fica então
Passo 5
Para escoamento incompressível de fluido newtoniano com
constante e
:
– Continuidade:
– Continuidade:
– Tensão de Newton:
Calculamos
Como
é constante e
,
logo
Substituindo na equação de Cauchy:
Resposta
Continuidades e Navier–Stokes para escoamento newtoniano incompressível e viscosidade constante: