A partir da equação de conservação da QM para o escoamento incompressível de um fluido newtoniano com viscosidade constante (na forma vetorial) obtida na questão anterior,
a. Obtenha a forma adimensional desta equação como função dos números de
, Eu e St (consulte a seção 10.2 do Livro Çengel para verificar os parâmetros de escala para adimensionalização).
b. Obtenha as aproximações para “creeping flow” e escoamento invíscido.
c. Mostre que, para escoamento irrotacional, a equação de Bernoulli pode ser aplicada para determinar a relação entre velocidade e pressão em qualquer ponto do escoamento.
b. Obtenha as aproximações para “creeping flow” e escoamento invíscido.
c. Mostre que, para escoamento irrotacional, a equação de Bernoulli pode ser aplicada para determinar a relação entre velocidade e pressão em qualquer ponto do escoamento.
Passo 1
A questão nos dá a forma vetorial das equações de Navier–Stokes para escoamento incompressível de fluido newtoniano com viscosidade constante,
e pede:
a) obter a forma adimensional usando os números de Reynolds , Froude
, Euler
e Strouhal
;
b) deduzir as formas aproximadas para “creeping flow” e para escoamento invíscido;
c) mostrar que, se o escoamento é irrotacional, vale a equação de Bernoulli relacionando e
.
Para isso vamos precisar escolher escalas características e definir os números adimensionais.
a) obter a forma adimensional usando os números de Reynolds
b) deduzir as formas aproximadas para “creeping flow” e para escoamento invíscido;
c) mostrar que, se o escoamento é irrotacional, vale a equação de Bernoulli relacionando
Para isso vamos precisar escolher escalas características e definir os números adimensionais.
Passo 2
Escolhemos escalas características genéricas:
comprimento , velocidade
, tempo
, pressão
e aceleração da gravidade
.
Definimos as variáveis adimensionais com o asterisco:
comprimento
Definimos as variáveis adimensionais com o asterisco:
Os números adimensionais são
Passo 3
Substituindo essas escalas na equação e dividindo por
, obtemos
Essa é a forma adimensional pedida, em que aparecem
,
,
e
.
Passo 4
Para regimes limites:
– Creeping flow : os termos inerciais são desprezíveis, isto é
– Creeping flow
– Escoamento invíscido
: o termo viscoso some, dando
Passo 5
Para escoamento irrotacional temos
. Em escala dimensional, a equação invíscida é
Usamos a identidade vetorial
e, como
, fica
Somando as derivadas, obtemos
Se o escoamento for também estacionário
, integra-se direto e surge a lei de Bernoulli
Resposta
a) A forma adimensional é
b) Creeping flow
:
Escoamento invíscido
:
c) Para
e escoamento estacionário vale
que é a equação de Bernoulli.