A partir da equação de conservação da QM para o escoamento incompressível de um fluido newtoniano com viscosidade constante (na forma vetorial) obtida na questão anterior,
\frac{\partial \rho \boldsymbol{V}}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \boldsymbol{V} \boldsymbol{V})=-\nabla p+\mu \nabla^{2} \boldsymbol{V}+\rho \boldsymbol{g}
a. Obtenha a forma adimensional desta equação como função dos números de \mathrm{Re}, \mathrm{Fr}, Eu e St (consulte a seção 10.2 do Livro Çengel para verificar os parâmetros de escala para adimensionalização).
b. Obtenha as aproximações para “creeping flow” e escoamento invíscido.
c. Mostre que, para escoamento irrotacional, a equação de Bernoulli pode ser aplicada para determinar a relação entre velocidade e pressão em qualquer ponto do escoamento.

Passo 1

A questão nos dá a forma vetorial das equações de Navier–Stokes para escoamento incompres­sível de fluido newtoniano com viscosidade constante,
\frac{\partial \rho \boldsymbol{V}}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho \boldsymbol{V}\,\boldsymbol{V}) =-\nabla p+\mu\nabla^2\boldsymbol{V}+\rho\boldsymbol{g},
e pede:
a) obter a forma adimensional usando os números de Reynolds \mathrm{Re}, Froude \mathrm{Fr}, Euler \mathrm{Eu} e Strouhal \mathrm{St};
b) deduzir as formas aproximadas para “creeping flow” e para escoamento invíscido;
c) mostrar que, se o escoamento é irrotacional, vale a equação de Bernoulli relacionando p e \boldsymbol{V}.
Para isso vamos precisar escolher escalas características e definir os números adimensionais.

Passo 2

Escolhemos escalas características genéricas:
comprimento L, velocidade V_0, tempo t_0, pressão p_0 e aceleração da gravidade g.
Definimos as variáveis adimensionais com o asterisco:
x = L\,x^*,\quad \boldsymbol{V}=V_0\,\boldsymbol{V}^*,\quad t=t_0\,t^*,\quad p = p_0\,p^*,\quad \boldsymbol{g}=g\,\boldsymbol{g}^*.
Os números adimensionais são
\mathrm{Re}=\frac{\rho V_0 L}{\mu},\quad \mathrm{Fr}=\frac{V_0}{\sqrt{gL}},\quad \mathrm{Eu}=\frac{p_0}{\rho V_0^2},\quad \mathrm{St}=\frac{L}{V_0\,t_0}.

Passo 3

Substituindo essas escalas na equação e dividindo por \rho V_0^2/L, obtemos
\mathrm{St}\,\frac{\partial \boldsymbol{V}^*}{\partial t^*} +\boldsymbol{V}^*\cdot\nabla^*\boldsymbol{V}^* =-\mathrm{Eu}\,\nabla^*p^* +\frac{1}{\mathrm{Re}}\,\nabla^{*2}\boldsymbol{V}^* +\frac{1}{\mathrm{Fr}^2}\,\boldsymbol{g}^*.
Essa é a forma adimensional pedida, em que aparecem \mathrm{Re}, \mathrm{Fr}, \mathrm{Eu} e \mathrm{St}.

Passo 4

Para regimes limites:
– Creeping flow \mathrm{Re}\ll1: os termos inerciais são desprezíveis, isto é
0=-\mathrm{Eu}\,\nabla^*p^*+\frac{1}{\mathrm{Re}}\,\nabla^{*2}\boldsymbol{V}^* +\frac{1}{\mathrm{Fr}^2}\,\boldsymbol{g}^*.
– Escoamento invíscido \mathrm{Re}\gg1: o termo viscoso some, dando
\mathrm{St}\,\frac{\partial \boldsymbol{V}^*}{\partial t^*} +\boldsymbol{V}^*\cdot\nabla^*\boldsymbol{V}^* =-\mathrm{Eu}\,\nabla^*p^*+\frac{1}{\mathrm{Fr}^2}\,\boldsymbol{g}^*.

Passo 5

Para escoamento irrotacional temos \nabla\times\boldsymbol{V}=0. Em escala dimensional, a equação invíscida é
\frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial t} +(\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V} =-\frac{1}{\rho}\nabla p+\boldsymbol{g}.
Usamos a identidade vetorial
(\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V} =\nabla\Bigl(\tfrac{V^2}{2}\Bigr) -\boldsymbol{V}\times(\nabla\times\boldsymbol{V})
e, como \nabla\times\boldsymbol{V}=0, fica
\frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial t} +\nabla\Bigl(\tfrac{V^2}{2}\Bigr) =-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nabla(g\,z).
Somando as derivadas, obtemos
\nabla\Bigl(\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+g\,z\Bigr) +\frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial t}=0.
Se o escoamento for também estacionário \partial\boldsymbol{V}/\partial t=0, integra-se direto e surge a lei de Bernoulli
\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+g\,z=\text{constante}.

Resposta

a) A forma adimensional é
\boxed{ \mathrm{St}\,\frac{\partial \boldsymbol{V}^*}{\partial t^*} +\boldsymbol{V}^*\!\cdot\nabla^*\boldsymbol{V}^* =-\mathrm{Eu}\,\nabla^*p^* +\frac{1}{\mathrm{Re}}\,\nabla^{*2}\boldsymbol{V}^* +\frac{1}{\mathrm{Fr}^2}\,\boldsymbol{g}^*. }
b) Creeping flow \mathrm{Re}\ll1:
0=-\mathrm{Eu}\,\nabla^*p^*+\frac{1}{\mathrm{Re}}\,\nabla^{*2}\boldsymbol{V}^* +\frac{1}{\mathrm{Fr}^2}\,\boldsymbol{g}^*.
Escoamento invíscido \mathrm{Re}\gg1:
\mathrm{St}\,\frac{\partial \boldsymbol{V}^*}{\partial t^*} +\boldsymbol{V}^*\!\cdot\nabla^*\boldsymbol{V}^* =-\mathrm{Eu}\,\nabla^*p^* +\frac{1}{\mathrm{Fr}^2}\,\boldsymbol{g}^*.
c) Para \nabla\times\boldsymbol{V}=0 e escoamento estacionário vale
\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+g\,z=\text{constante},
que é a equação de Bernoulli.

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