Considerando o campo de velocidades unidimensional vx=A x t, determine a expressão para a massa específica rho(t), que é uma função apenas do tempo.
Resp.: rho / rho0=exp (-A t^2 / 2)

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade unidimensional
vx = A,x,t
e pede a densidade rho(t), função apenas do tempo. Para isso vamos usar a equação de continuidade (conservação de massa) em uma dimensão.

Passo 2

A equação de continuidade unidimensional é
partial rhopartial t + partial (rho,vx)partial x = 0

Passo 3

Substituindo vx = A x t e lembrando que rho=rho(t) (logo partial rho/partial x = 0), temos
partial rhopartial t + partial (rho,A x t)partial x = 0 Longrightarrow drhodt + A,t,rho = 0

Passo 4

Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, que resolvemos por separação de variáveis:
1rho,drho = -A,t,dt

Passo 5

Integrando de 0 a t e usando a condição inicial rho(0)=rho0,
integralrho0^rho(t)1rho,drho = -Aintegral0^tt',dt' Longrightarrow ln!l(rho/rho0r) = -A,t^22
Exponentiando, vem
rho(t)rho0 = exp!l(-tfracA,t^22r)

Resposta

rhorho0 = exp!l(-tfracA,t^22r)

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