Quais dos seguintes campos de velocidades correspondem a escoamentos incompressíveis:
v=x y z t de<ax-x y z t^2 de<ay+(z^2 / 2)(x t^2-y t) de<az

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais campos de velocidade são incompressíveis, ou seja, aqueles cuja divergência é nula. Para isso vamos usar a definição de divergência em coordenadas cartesianas:
div,v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z,

Passo 2

Identificamos os componentes do campo
v=x,y,z,t;de<ax-x,y,z,t^2;de<ay+z^22l(x,t^2-y,tr);de<az.
Logo,
vx = x,y,z,t, vy = -,x,y,z,t^2, vz = z^22l(x,t^2-y,tr),

Passo 3

Calculamos cada derivada parcial:
partial vxpartial x = partial (x,y,z,t)partial x = y,z,t,
partial vypartial y = partial(-x,y,z,t^2)partial y = -,x,z,t^2,
partial vzpartial z = partialpartial zl[z^22(x,t^2-y,t)r] = z,(x,t^2-y,t)

Passo 4

Somamos as três parcelas:
div,v = y,z,t ;+; l(-x,z,t^2r);+; z,(x,t^2-y,t)
Distributindo o último termo:
y,z,t - x,z,t^2 + x,z,t^2 - y,z,t = 0
Portanto a divergência é zero.

Resposta

O campo dado é incompressível, pois div,v=0.

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