Responda às seguintes questões. Defina e utilize símbolos apropriados para as quantidades físicas relevantes.
a. Derive uma equação que exprima a distribuição de velocidade do escoamento de Hagen-Poiseuille usando o método do balanço de casca, a equação de Navier-Stokes ou qualquer outra abordagem.
b. A partir da equação obtida em (1), derive a expressão para a velocidade média.
c. Derive a equação que expressa a distribuição radial da tensão de cisalhamento no escoamento de Hagen-Poiseuille.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o escoamento laminar estacionário de um fluido viscoso incompressível numa tubulação cilíndrica (raio R, eixo x, coordenada radial r).
Conteúdo: mecânica dos fluidos (equação de Navier–Stokes em regime totalmente desenvolvido).
Símbolos principais: pressão p(x), gradiente de pressão dfracdpdx (constante), viscosidade dinâmica mu, velocidade axial u(r).

Passo 2

Escrevemos a equação de Navier–Stokes para fluxo unidimensional (u_r=0, u_\theta=0, u_x=u®), fully-developed (nenhuma variae7e3o em x de u) e sem gravidade:
0 = -dpdx + mu1rddr!l(rdudrr)
Integramos uma vez:
ddr!l(rdudrr) = -rmudpdx Longrightarrow rdudr = -12mudpdx,r^2 + C1
Como du/dr e9 finito em r=0, conclui-se C1=0. Dividindo por r e integrando de novo:
dudr = -12mudpdx,r Longrightarrow u(r) = -14mudpdx,r^2 + C2
Impondo a condie7e3o de ne3o– deslizamento na parede ( u(R)=0) de1
C2 = 14mudpdx,R^2
e portanto a distribuie7e3o parabf3lica
u(r) = 14mudpdx,(R^2 - r^2)

Passo 3

Para achar a velocidade média bar u definimos a vazão
Q = integral0^R u(r),2pi r,dr
e depois bar u = Q/(pi R^2). Substituindo u(r):
Q = 14mudpdx,2pi integral0^R(R^2r - r^3),dr = 14mudpdx,2pil[R^42 - R^44r] = pi R^48mu,dpdx
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bar u = Qpi R^2 = R^28mu,dpdx

Passo 4

A tensão de cisalhamento radial-axial é
taurx(r) = mududr = mul(-12mudpdx,rr) = -r2,dpdx
Note que taurx cresce linearmente com r e é máxima (em módulo) na parede.

Resposta

(a) Distribuição de velocidade:
u(r) = 14mudpdx,(R^2 - r^2)
(b) Velocidade média:
bar u = R^28mu,dpdx
(c) Distribuição radial da tensão de cisalhamento:
taurx(r) = -r2,dpdx

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