Responda às seguintes questões. Defina e utilize símbolos apropriados para as quantidades físicas relevantes.
a. Derive uma equação que exprima a distribuição de velocidade do escoamento de Hagen-Poiseuille usando o método do balanço de casca, a equação de Navier-Stokes ou qualquer outra abordagem.
b. A partir da equação obtida em (1), derive a expressão para a velocidade média.
c. Derive a equação que expressa a distribuição radial da tensão de cisalhamento no escoamento de Hagen-Poiseuille.
a. Derive uma equação que exprima a distribuição de velocidade do escoamento de Hagen-Poiseuille usando o método do balanço de casca, a equação de Navier-Stokes ou qualquer outra abordagem.
b. A partir da equação obtida em (1), derive a expressão para a velocidade média.
c. Derive a equação que expressa a distribuição radial da tensão de cisalhamento no escoamento de Hagen-Poiseuille.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o escoamento laminar estacionário de um fluido viscoso incompressível numa tubulação cilíndrica (raio
, eixo
, coordenada radial
).
Conteúdo: mecânica dos fluidos (equação de Navier–Stokes em regime totalmente desenvolvido).
Símbolos principais: pressão , gradiente de pressão
(constante), viscosidade dinâmica
, velocidade axial
.
Conteúdo: mecânica dos fluidos (equação de Navier–Stokes em regime totalmente desenvolvido).
Símbolos principais: pressão
Passo 2
Escrevemos a equação de Navier–Stokes para fluxo unidimensional (u_r=0, u_\theta=0, u_x=u®), fully-developed (nenhuma variae7e3o em x de u) e sem gravidade:
Integramos uma vez:
Como
e9 finito em
, conclui-se
. Dividindo por
e integrando de novo:
Impondo a condie7e3o de ne3o– deslizamento na parede (
) de1
e portanto a distribuie7e3o parabf3lica
Passo 3
Para achar a velocidade média
definimos a vazão
e depois
. Substituindo
:
Logo
Passo 4
A tensão de cisalhamento radial-axial é
Note que
cresce linearmente com
e é máxima (em módulo) na parede.
Resposta
(a) Distribuição de velocidade:
(b) Velocidade média:
(c) Distribuição radial da tensão de cisalhamento: