a) Utilizando as hipóteses e o procedimento utilizados para um V.C. em coordenadas cartesianas, parta de um V.C. em coordenadas cilíndricas e demonstre que neste caso a equação da continuidade é dada por:
partial rhopartial t+partial(rho vr)partial r+rho vrr+1r partial(rho vtheta)partial theta+partial(rho vz)partial z=0
b) Prove que o mesmo resultado é obtido partindo diretamente da expressão da equação da continuidade em notação vetorial:
partial rhopartial t+nabla cdot(rho v)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), a conservação de massa (equação da continuidade) fica
partial rhopartial t +partial(rho vr)partial r +rho vrr +1rpartial(rho vtheta)partial theta +partial(rho vz)partial z =0
Vamos usar dois caminhos:
a) método do volume de controle diferencial, análogo ao caso cartesiano, só que agora dV=r,dr,dtheta,dz;
b) aplicação direta de
partial rhopartial t+nablacdot(rho v)=0
sabendo a forma de nablacdot A em cilindricas.

Passo 2

Considere um volume de controle diferencial
dV = r,dr,dtheta,dz,
onde a massa é dm=rho,dV. A taxa de variação da massa dentro dele é
partialpartial t( rho,r,dr,dtheta,dz ) = partial rhopartial t,r,dr,dtheta,dz

Passo 3

Calculemos o fluxo de massa na direção radial:
– na face em r: área r,dtheta,dz, fluxo rho vr(r),r,dtheta,dz;
– na face em r+dr: rho vr(r+dr),(r+dr),dtheta,dz.
O fluxo líquido saindo radialmente é
l[rho vr(r+dr),(r+dr)-rho vr(r),rr]dtheta,dz approx partialpartial rl(r,rho vrr),dr,dtheta,dz
Dividindo por dV
1r,partialpartial rl(r,rho vrr)

Passo 4

De modo semelhante, nas faces theta e theta+dtheta (área dr,dz) o fluxo líquido é
partial(rho vtheta)partial theta,dr,dz,dtheta longrightarrow 1r,partial(rho vtheta)partial theta
por divisão por r,dr,dtheta,dz.
Nas faces z e z+dz (área r,dr,dtheta) o fluxo líquido é
partial(rho vz)partial z,r,dr,dtheta,dz longrightarrow partial(rho vz)partial z

Passo 5

Mass-balance exige que a variação de massa no volume mais o fluxo líquido de massa para fora some zero. Assim
partial rhopartial t +1rpartial(r,rho vr)partial r +1rpartial(rho vtheta)partial theta +partial(rho vz)partial z =0

Passo 6

Basta então expandir
1rpartial(r,rho vr)partial r =1rl(r,partial(rho vr)partial r+rho vrr) =partial(rho vr)partial r+rho vrr
para obter exatamente
partial rhopartial t +partial(rho vr)partial r +rho vrr +1rpartial(rho vtheta)partial theta +partial(rho vz)partial z =0

Passo 7

Agora o método (b): partindo da forma vetorial
partial rhopartial t+nablacdot(rho v)=0,
sabemos que, em coordenadas cilíndricas,
nablacdot(rho v) =1rpartial(r,rho vr)partial r +1rpartial(rho vtheta)partial theta +partial(rho vz)partial z

Passo 8

Substituindo em partialtrho+nablacdot(rho v)=0 e expandindo o termo radial como no passo anterior, chegamos à mesma forma
partial rhopartial t +partial(rho vr)partial r +rho vrr +1rpartial(rho vtheta)partial theta +partial(rho vz)partial z =0

Resposta

Demonstrou-se por controle de volume e por fórmula vetorial que, em coordenadas cilíndricas, a equação da continuidade é
partial rhopartial t +partial(rho vr)partial r +rho vrr +1rpartial(rho vtheta)partial theta +partial(rho vz)partial z =0

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