a) Utilizando as hipóteses e o procedimento utilizados para um V.C. em coordenadas cartesianas, parta de um V.C. em coordenadas cilíndricas e demonstre que neste caso a equação da continuidade é dada por:
b) Prove que o mesmo resultado é obtido partindo diretamente da expressão da equação da continuidade em notação vetorial:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), a conservação de massa (equação da continuidade) fica
partial rhopartial t +partial(rho vr)partial r +rho vrr +1rpartial(rho vtheta)partial theta +partial(rho vz)partial z =0
Vamos usar dois caminhos:
a) método do volume de controle diferencial, análogo ao caso cartesiano, só que agora dV=r,dr,dtheta,dz;
b) aplicação direta de
partial rhopartial t+nablacdot(rho v)=0
sabendo a forma de nablacdot A em cilindricas.
Passo 2
Considere um volume de controle diferencial
dV = r,dr,dtheta,dz,
onde a massa é dm=rho,dV. A taxa de variação da massa dentro dele é
Calculemos o fluxo de massa na direção radial:
– na face em r: área r,dtheta,dz, fluxo rho vr(r),r,dtheta,dz;
– na face em r+dr: rho vr(r+dr),(r+dr),dtheta,dz.
O fluxo líquido saindo radialmente é