Considerando o cenário descrito, determine:
A equação característica desse movimento oscilatório, da forma:
a+\sigma x^{3}+\gamma x=0
Em que a é a aceleração instantânea da partícula. Explicite, por conseguinte, \sigma e \gamma em termos das constantes intervenientes;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (usei o que aparece na figura enviada).
  • O enunciado pede a equação do movimento na forma
a+\sigma x^{3}+\gamma x=0,
em que a é a aceleração instantânea da partícula (ou seja a=\ddot x). Preciso encontrar \sigma e \gamma expressos nas constantes que intervenham no problema.
  • Da figura e do texto temos a função (peguei isto da imagem):
g(x)=p x^{3}+q x,
onde p e q são constantes conhecidas.
  • O enunciado não explicita diretamente a origem da força restauradora, mas a forma pedida sugere que a força resultante sobre a partícula seja proporcional a g(x). Vou explicitar essa hipótese e depois escrever \sigma e \gamma em termos das constantes envolvidas (massa da partícula e o factor de proporcionalidade físico que liga g(x) à força).

Passo 2

Princípio físico de base (secunda lei de Newton)
  • A equação fundamental que usamos é a segunda lei de Newton para a coordenada x:
m\,a = \sum F_x,
onde m é a massa da partícula, a=\ddot x é a aceleração instantânea e \sum F_x é a força resultante na direção x.
  • Se a força que tende a restaurar a partícula à origem é uma função de x (força conservativa ou não), escrevemos, em geral,
\sum F_x = -F_{\text{rest}}(x).
O sinal negativo indica que a força é restauradora (oposta ao deslocamento x).

Passo 3

Hipótese natural e modelagem matemática da força
  • A figura mostra a curva g(x)=p x^3+q x. Uma hipótese natural (e a mais simples compatível com o enunciado) é que a força restauradora seja proporcional a essa função; isto é, existe uma constante de proporcionalidade física K (positiva) tal que
F_{\text{rest}}(x)=K\,g(x)=K\big(p x^{3}+q x\big).
  • A constante K recolhe os parâmetros físicos que convertem a geometria g(x) numa força (por exemplo: densidade e aceleração da gravidade e largura/espessura da peça, ou uma constante de rigidez se o efeito for elástico). Não precisamos especificar ainda o valor numérico de K para escrever a forma geral da equação; depois dou a expressão genérica para K no caso mais comum.

Passo 4

Substituir na segunda lei e obter a equação do movimento
  • Substituindo \sum F_x = -K\big(p x^{3}+q x\big) em m a = \sum F_x obtemos
m\,a = -K\big(p x^{3}+q x\big).
  • Dividindo por m e escrevendo a explicitamente:
a + \frac{K p}{m}\,x^{3} + \frac{K q}{m}\,x = 0.
  • Esta expressão tem exatamente a forma pedida \,a+\sigma x^{3}+\gamma x=0\,. Portanto identificamos os coeficientes:

Passo 5

Identificação de \sigma e \gamma e comentário sobre K
  • Comparando termo a termo:
\sigma = \frac{K p}{m},\qquad \gamma = \frac{K q}{m}.
  • Interpretação de K: K é a constante que relaciona a função geométrica g(x) com a força física. Dependendo do contexto físico concreto, K pode ter fórmulas específicas. Dois exemplos típicos:
    • Se a força é diretamente proporcional à área descrita por g(x) multiplicada por uma pressão uniforme por unidade de área, então K será essa pressão vezes a largura/espessura L (por exemplo K=\text{pressão}\times Lã).
    • Se a força procede de um efeito hidrostático linear simplificado (hipótese muito usada para obter dependência linear em g(x)), uma escolha comum é K=\rho\,g_0\,L, em que \rho é a densidade do fluido, g_0 a aceleração da gravidade e L uma largura/espessura na terceira dimensão. Nesse caso
    \sigma=\frac{\rho g_0 L\,p}{m},\qquad \gamma=\frac{\rho g_0 L\,q}{m}.
    • Se o problema físico der outra expressão para a ligação F_{\text{rest}}(x)=K g(x), basta substituir essa expressão de K na fórmula geral acima.

Resposta

\sigma=\dfrac{K\,p}{m},\qquad \gamma=\dfrac{K\,q}{m}.

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