Considerando o cenário descrito, determine:
A equação característica desse movimento oscilatório, da forma:
Em que a é a aceleração instantânea da partícula. Explicite, por conseguinte,
e
em termos das constantes intervenientes;
A equação característica desse movimento oscilatório, da forma:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (usei o que aparece na figura enviada).
- O enunciado pede a equação do movimento na forma
em que
é a aceleração instantânea da partícula (ou seja
). Preciso encontrar
e
expressos nas constantes que intervenham no problema.
- Da figura e do texto temos a função (peguei isto da imagem):
onde
e
são constantes conhecidas.
- O enunciado não explicita diretamente a origem da força restauradora, mas a forma pedida sugere que a força resultante sobre a partícula seja proporcional a
. Vou explicitar essa hipótese e depois escrever e em termos das constantes envolvidas (massa da partícula e o factor de proporcionalidade físico que liga à força).
Passo 2
Princípio físico de base (secunda lei de Newton)
- A equação fundamental que usamos é a segunda lei de Newton para a coordenada
:
onde
é a massa da partícula,
é a aceleração instantânea e
é a força resultante na direção
.
- Se a força que tende a restaurar a partícula à origem é uma função de
(força conservativa ou não), escrevemos, em geral,
O sinal negativo indica que a força é restauradora (oposta ao deslocamento
).
Passo 3
Hipótese natural e modelagem matemática da força
- A figura mostra a curva
. Uma hipótese natural (e a mais simples compatível com o enunciado) é que a força restauradora seja proporcional a essa função; isto é, existe uma constante de proporcionalidade física (positiva) tal que
- A constante
recolhe os parâmetros físicos que convertem a geometria numa força (por exemplo: densidade e aceleração da gravidade e largura/espessura da peça, ou uma constante de rigidez se o efeito for elástico). Não precisamos especificar ainda o valor numérico de para escrever a forma geral da equação; depois dou a expressão genérica para no caso mais comum.
Passo 4
Substituir na segunda lei e obter a equação do movimento
- Substituindo
em obtemos
- Dividindo por
e escrevendo explicitamente:
- Esta expressão tem exatamente a forma pedida
. Portanto identificamos os coeficientes:
Passo 5
Identificação de
e
e comentário sobre
- Comparando termo a termo:
- Interpretação de
: é a constante que relaciona a função geométrica com a força física. Dependendo do contexto físico concreto, pode ter fórmulas específicas. Dois exemplos típicos: - Se a força é diretamente proporcional à área descrita por
multiplicada por uma pressão uniforme por unidade de área, então será essa pressão vezes a largura/espessura (por exemplo ). - Se a força procede de um efeito hidrostático linear simplificado (hipótese muito usada para obter dependência linear em
), uma escolha comum é , em que é a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e uma largura/espessura na terceira dimensão. Nesse caso
- Se o problema físico der outra expressão para a ligação
, basta substituir essa expressão de na fórmula geral acima.
- Se a força é diretamente proporcional à área descrita por