Uma bobina quadrada com N=10 espiras e lado L=50 \mathrm{~cm} conduz corrente i=2,0 \mathrm{~A}. Ela está no plano z=0, com corrente no sentido anti-horário vista de +z. O campo magnético é \boldsymbol{B}=0,2 \mathrm{~T} \hat{\mathbf{i}}+ 0,3 \mathrm{~T} \hat{\mathbf{k}}.
a) Determine o vetor momento magnético \mu.
b) Determine o torque \tau exercido na bobina.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Número de espiras: N=10.
  • Lado do quadrado: L=50\\ \mathrm{cm}=0,50\\ \mathrm{m}.
  • Corrente: i=2,0\\ \mathrm{A}.
  • A bobina está no plano z=0 e a corrente é anti-horário vista de +z.
  • Campo magnético: \boldsymbol{B}=0,2\\ \mathrm{T}\,\hat{\mathbf{i}}+0,3\\ \mathrm{T}\,\hat{\mathbf{k}}.
O enunciado pede:
(a) determinar o vetor momento magnético \boldsymbol{\mu};
(b) determinar o torque \boldsymbol{\tau} exercido na bobina.

Passo 2

Conceito e fórmula do momento magnético de uma bobina: para uma bobina com N espiras que conduz corrente i e tem área vetorial \boldsymbol{A}, o momento magnético é
\boldsymbol{\mu}=N i \boldsymbol{A}.
Aqui \boldsymbol{A}=A\hat{n}, onde A é a área da espira (em \mathrm{m^2}) e \hat{n} é o versor normal à superfície dado pela regra da mão direita (curva os dedos no sentido da corrente; o polegar indica \hat{n}). Explicando a regra da mão direita de forma simples: como a corrente é anti-horário vista de +z, ao “enrolar” os dedos no sentido da corrente o polegar aponta para +z. Logo \hat{n}=\hat{\mathbf{k}}.

Passo 3

Calcular a área da espira (cada espira é um quadrado de lado L):
A=L^2=(0,50\\ \mathrm{m})^2=0,25\\ \mathrm{m^2}.
Agora calculo o momento magnético escalar e o vetor:
\mu_{\text{mag}}=N i A=10\cdot 2,0\cdot 0,25=5,0\\ \mathrm{A\cdot m^2}.
Como o vetor \boldsymbol{A} está na direção +\hat{\mathbf{k}}, temos
\boldsymbol{\mu}=5,0\\ \mathrm{A\cdot m^2}\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 4

Conceito e fórmula do torque: o torque sobre um momento magnético num campo uniforme é
\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\boldsymbol{B}.
Vou calcular o produto vetorial usando as propriedades das uni-dos vetores \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} (lembrete rápido: \hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}, \hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}; qualquer produto de um vetor por ele mesmo é zero).

Passo 5

Aplico a fórmula com os vetores conhecidos. Escrevo primeiro \boldsymbol{\mu} e \boldsymbol{B} em componentes:
\boldsymbol{\mu}=5,0\,\hat{\mathbf{k}},\qquad \boldsymbol{B}=0,2\,\hat{\mathbf{i}}+0,3\,\hat{\mathbf{k}}.
Faço o produto vetorial:
\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\boldsymbol{B}=5,0\bigl(\hat{\mathbf{k}}\times(0,2\,\hat{\mathbf{i}}+0,3\,\hat{\mathbf{k}})\bigr).
Distribuindo:
\boldsymbol{\tau}=5,0\bigl(0,2\,\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}}+0,3\,\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{k}}\bigr).
Usando as regras de produto vetorial: \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} e \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{k}}=\boldsymbol{0}. Então
\boldsymbol{\tau}=5,0\bigl(0,2\,\hat{\mathbf{j}}+0\bigr)=1,0\,\hat{\mathbf{j}}.
Unidades: \boldsymbol{\mu} tem unidade \mathrm{A\cdot m^2} e \boldsymbol{B} tem \mathrm{T}; o produto dá \mathrm{A\cdot m^2\cdot T}=\mathrm{N\cdot m}, unidade de torque. Logo
\boldsymbol{\tau}=1,0\\ \mathrm{N\cdot m}\,\hat{\mathbf{j}}.

Passo 6

Checagem alternativa (opcional mas didática): magnitude do torque também pode ser obtida por
\tau=\mu B\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \boldsymbol{\mu} (direção \hat{\mathbf{k}}) e \boldsymbol{B}. Calculando |\boldsymbol{B}|=\sqrt{0,2^2+0,3^2}=\sqrt{0,13}=\dfrac{\sqrt{13}}{10}, e
\cos\theta=\frac{\boldsymbol{\mu}\cdot\boldsymbol{B}}{\mu B}=\frac{5,0\cdot 0,3}{5,0\cdot|\boldsymbol{B}|}=\frac{0,3}{|\boldsymbol{B}|}=\frac{3}{\sqrt{13}},
então \sin\theta=\dfrac{2}{\sqrt{13}}. Substituindo:
\tau=\mu B\sin\theta=5,0\cdot\frac{\sqrt{13}}{10}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=1,0,
confirmando o resultado vetorial anterior.

Resposta

\boldsymbol{\mu}=5,0\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}\,\hat{\mathbf{k}}
\boldsymbol{\tau}=1,0\\ \mathrm{N\cdot m}\,\hat{\mathbf{j}}

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