O momento magnético de uma espira é \vec{\mu}=2 \hat{\imath}+0 \hat{\jmath}+3 \hat{k}\left(A \cdot m^{2}\right). A espira está num campo magnético \vec{B}=1 \hat{\imath}+1 \hat{\jmath}+2 \hat{k}(T).
a) Calcule o torque \vec{\tau} sobre a espira (dê os componentes \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k} ).
b) Calcule o módulo |\vec{\tau}|.
c) Calcule o módulo |\vec{\mu}|.
d) Sabendo que a área da espira é A=\operatorname{raiz}(6,5) m^{2}, determine a corrente i.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes vetores (já peguei estes valores do enunciado):
  • Momento magnético: \vec{\mu}=2\hat{\imath}+0\hat{\jmath}+3\hat{k}\\ \left(A\cdot m^{2}\right).
  • Campo magnético: \vec{B}=1\hat{\imath}+1\hat{\jmath}+2\hat{k}\\ (T).
O enunciado pede:
a) Calcular o torque \vec{\tau} sobre a espira, dando os componentes nas direções \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}.
b) Calcular o módulo |\vec{\tau}|.
c) Calcular o módulo |\vec{\mu}|.
d) Sabendo que a área da espira é A=\sqrt{6,5}\\ \mathrm{m}^{2}, determinar a corrente i.

Passo 2

Fórmula e ideia que vamos usar (aula curtinha): o torque sobre uma espira (dipolo magnético) numa campo magnético uniforme é dado pelo produto vetorial entre o momento magnético e o campo:
\vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}.
Explicando o produto vetorial de forma prática: se \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), então
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\[4pt] u_x & u_y & u_z\\[4pt] v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} = \bigl(u_y v_z - u_z v_y\bigr)\hat{\imath} -\bigl(u_x v_z - u_z v_x\bigr)\hat{\jmath} +\bigl(u_x v_y - u_y v_x\bigr)\hat{k}.
Cada componente é uma diferença de produtos (é como uma “determinante reduzida”). Vamos aplicar isso com \vec{\mu} e \vec{B}.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado. Primeiro escrevo as componentes:
\vec{\mu}=(\mu_x,\mu_y,\mu_z)=(2,0,3), \qquad \vec{B}=(B_x,B_y,B_z)=(1,1,2).
Agora calculo cada componente do produto vetorial:
  • Componente \hat{\imath}:
\tau_x=\mu_y B_z-\mu_z B_y=0\cdot 2-3\cdot 1=0-3=-3.
  • Componente \hat{\jmath}:
\tau_y=\mu_z B_x-\mu_x B_z=3\cdot 1-2\cdot 2=3-4=-1.
  • Componente \hat{k}:
\tau_z=\mu_x B_y-\mu_y B_x=2\cdot 1-0\cdot 1=2-0=2.

Passo 4

Escrevendo o torque vetorial final (unidade: \mathrm{N\cdot m}, pois A\cdot m^{2}\times T = N\cdot m):
\vec{\tau}=-3\hat{\imath}-1\hat{\jmath}+2\hat{k}\\ \left(\mathrm{N\cdot m}\right).

Passo 5

Agora o módulo do torque. Para um vetor \vec{\tau}=(\tau_x,\tau_y,\tau_z) vale
|\vec{\tau}|=\sqrt{\tau_x^{2}+\tau_y^{2}+\tau_z^{2}}.
Substituindo os componentes que achamos:
|\vec{\tau}|=\sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}.
Valor aproximado:
\sqrt{14}\approx 3,742\\ \left(\mathrm{N\cdot m}\right).

Passo 6

Módulo do momento magnético \vec{\mu}. Para \vec{\mu}=(2,0,3),
|\vec{\mu}|=\sqrt{\mu_x^{2}+\mu_y^{2}+\mu_z^{2}}=\sqrt{2^{2}+0^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+0+9}=\sqrt{13}.
Valor aproximado:
\sqrt{13}\approx 3,606\\ \left(A\cdot m^{2}\right).

Passo 7

Relacionando momento magnético, área e corrente: para uma única espira plana e com vetor área alinhado ao momento magnético vale
|\vec{\mu}|=I\cdot A,
onde I é a corrente e A é a área da espira (módulo da área). Logo
I=\frac{|\vec{\mu}|}{A}.
O enunciado fornece A=\sqrt{6,5}\\ \mathrm{m}^{2}. Substituindo:
I=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6,5}}=\sqrt{\frac{13}{6,5}}=\sqrt{2}.
Valor aproximado:
I\approx 1,414\\ \mathrm{A}.

Passo 8

Resumo dos resultados (já fizemos todos os passos de cálculo e explicação). Se precisar, revejo qualquer etapa mais devagar para praticar passos parecidos na prova — posso destacar o “receita” rápida: para torque use produto vetorial; para módulo use raiz da soma dos quadrados; para corrente use I=|\mu|/A. Força e ânimo: tá indo bem!

Resposta

\vec{\tau}=-3\hat{\imath}-1\hat{\jmath}+2\hat{k}\\ \left(\mathrm{N\cdot m}\right)
|\vec{\tau}|=\sqrt{14}\approx 3,742\\ \left(\mathrm{N\cdot m}\right)
|\vec{\mu}|=\sqrt{13}\approx 3,606\\ \left(A\cdot m^{2}\right)
i=\sqrt{2}\approx 1,414\\ \mathrm{A}

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