Considerando um circuito RLC Paralelo, calcule os valores da impedância (forma polar), das correntes i, i_{R}, i_{L}, i_{C} para os casos abaixo:
v=j 15 \mathrm{~V} ; R=50 \Omega ; X_{L}=45 \Omega ; X_{C}=45 \Omega

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular as impedâncias (forma polar) do circuito RLC paralelo.
  • Calcular as correntes i (corrente total), i_{R}, i_{L} e i_{C}.
Informações dadas:
v = j15\\ \text{V},\qquad R=50\\ \Omega,\qquad X_{L}=45\\ \Omega,\qquad X_{C}=45\\ \Omega.
Observação importante (dados que temos): a fonte de tensão já está em forma fasorial \,v=j15 (ou seja, magnitude 15 e ângulo +90^\circ). Não há figura faltando — temos tudo que precisamos.

Passo 2

Entendendo as impedâncias de cada elemento (fórmulas e significado):
  • Resistência: a impedância de R é puramente real
Z_{R}=R,
onde R é a resistência em ohms.
  • Indutor: a impedância do indutor é
Z_{L}=jX_{L},
onde X_{L}=\omega L é a reatância indutiva (em \Omega) e j indica defasagem de +90^\circ.
  • Capacitor: a impedância do capacitor é
Z_{C}=-jX_{C},
onde X_{C}=\tfrac{1}{\omega C} é a reatância capacitiva (em \Omega) e o sinal negativo indica defasagem de -90^\circ.
Agora calculemos numericamente (forma retangular e depois polar):
Z_{R}=50\\ \Omega.
Z_{L}=j45\\ \Omega \quad\Rightarrow\quad |Z_{L}|=45,\\ \arg(Z_{L})=+90^\circ \Rightarrow Z_{L}=45\angle 90^\circ\\ \Omega.
Z_{C}=-j45\\ \Omega \quad\Rightarrow\quad |Z_{C}|=45,\\ \arg(Z_{C})=-90^\circ \Rightarrow Z_{C}=45\angle -90^\circ\\ \Omega.

Passo 3

Explicando como combinar elementos em paralelo: usamos admitâncias. Admitância é o inverso da impedância:
Y=\frac{1}{Z}=G+jB,
onde G é a condutância (parte real) e B é a susceptância (parte imaginária). Em paralelo somam-se as admitâncias.
Calculemos cada admitância:
Y_{R}=\frac{1}{Z_{R}}=\frac{1}{50}=0,02\\ \text{S}.
Y_{L}=\frac{1}{Z_{L}}=\frac{1}{j45}=-\frac{j}{45}=-j\,0,02222\ldots\\ \text{S}.
Y_{C}=\frac{1}{Z_{C}}=\frac{1}{-j45}=+\frac{j}{45}=j\,0,02222\ldots\\ \text{S}.

Passo 4

Somando as admitâncias (parte real com real, imaginária com imaginária):
Y_{tot}=Y_{R}+Y_{L}+Y_{C}=0,02 + \big(-j0,02222\ldots + j0,02222\ldots\big)=0,02 + j0.
As partes imaginárias se cancelaram porque X_{L}=X_{C} (indutiva e capacitiva se anularam em susceptância). Logo a admitância total é puramente real 0,02\\ \text{S}.
Impedância equivalente do paralelo:
Z_{eq}=\frac{1}{Y_{tot}}=\frac{1}{0,02}=50\\ \Omega.
Em forma polar:
Z_{eq}=50\angle 0^\circ\\ \Omega.

Passo 5

Cálculo da corrente total (regra: corrente = tensão / impedância, tudo em fasores). A tensão dada é \,v=j15 (magnitude 15, ângulo +90^\circ).
Usando divisão de fasores: dividir magnitudes e subtrair ângulos. Aqui
i=\frac{v}{Z_{eq}}=\frac{j15}{50}=j0,3\\ \text{A}.
Em forma polar: 15/50=0,3 e ângulo 90^\circ-0^\circ=90^\circ, então
i=0,3\angle 90^\circ\\ \text{A}.
Interpretação: a corrente total tem magnitude 0,3 A e está defasada +90^\circ em relação à referência.

Passo 6

Cálculo das correntes de ramo, usando i_{branch}=v/Z_{branch}.
Para a resistência:
i_{R}=\frac{v}{Z_{R}}=\frac{j15}{50}=j0,3\\ \text{A}=0,3\angle 90^\circ\\ \text{A}.
Note que numericamente i_{R}=i. Vou explicar por que no próximo passo.
Para o indutor:
fácil usar representação em polar: v tem 15\angle 90^\circ, Z_{L}=45\angle 90^\circ. Então
i_{L}=\frac{v}{Z_{L}}=\frac{15\angle 90^\circ}{45\angle 90^\circ}=\frac{15}{45}\angle(90^\circ-90^\circ)=\tfrac{1}{3}\angle 0^\circ.
Portanto
i_{L}=0,333\ldots\angle 0^\circ\\ \text{A},
ou em forma retangular i_{L}=0,333\ldots\\ \text{A} (corrente real positiva).
Para o capacitor:
i_{C}=\frac{v}{Z_{C}}=\frac{15\angle 90^\circ}{45\angle -90^\circ}=\frac{15}{45}\angle(90^\circ-(-90^\circ))=\tfrac{1}{3}\angle 180^\circ.
Como \tfrac{1}{3}\angle 180^\circ = -\tfrac{1}{3}\angle 0^\circ, temos
i_{C}=-0,333\ldots\angle 0^\circ\\ \text{A},
ou seja i_{C}=-0,333\ldots\\ \text{A} em retangular (corrente real negativa, isto é, mesma magnitude que i_{L} mas em oposição de fase).

Passo 7

Interpretação e verificação:
  • A susceptância do indutor e do capacitor se anularam, por isso a corrente total é igual à corrente pela resistência: i=i_{R}.
  • Soma das correntes de ramo:
i_{R}+i_{L}+i_{C}=j0,3 + 0,333\ldots + (-0,333\ldots)=j0,3,
confere com i.
Pequena observação didática: quando X_{L}=X_{C} em paralelo com uma resistência, os ramos reativos trocam correntes entre si de mesma magnitude e em oposição; a resultante reativa é zero, deixando apenas a corrente através de R.

Resposta

Z_{eq}=50\angle 0^\circ\\ \Omega
Z_{R}=50\angle 0^\circ\\ \Omega
Z_{L}=45\angle 90^\circ\\ \Omega
Z_{C}=45\angle -90^\circ\\ \Omega
i=0,3\angle 90^\circ\\ \text{A}
i_{R}=0,3\angle 90^\circ\\ \text{A}
i_{L}=0,333\ldots\angle 0^\circ\\ \text{A}
i_{C}=0,333\ldots\angle 180^\circ\\ \text{A}

Exercícios relacionados