Q3: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
I) Se
é diagonalizável, então
é simétrica.
II) Se
e
são autovetores de uma matriz simétrica, então $\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=0.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
I) Se
II) Se
Passo 1
O enunciado pede para escolher a alternativa correta entre (A) a (E) sobre as duas afirmações I e II. As afirmativas são:
I) Se
é diagonalizável, então
é simétrica.
II) Se e
são autovetores de uma matriz simétrica, então
.
II) Se
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Temos duas sentenças sobre autovalores/autovetores, diagonalização e simetria.
- A escolha deve indicar quais das sentenças são verdadeiras/falsas.
Nada mais foi fornecido (sem figuras). A partir daqui vamos explicar os conceitos e decidir a veracidade de I e II.
Passo 2
Primeiro, definições e conceitos que vamos usar (devagar e com calma).
Definição de “diagonalizável”:
Uma transformação linear
(ou matriz
) é dita diagonalizável se existe uma base do espaço formada por autovetores de
. Em termos de matrizes, isso significa que existe uma matriz invertível
tal que
onde
é uma matriz diagonal. Aqui
contém os autovalores na diagonal e as colunas de
são autovetores de
. Ter uma base de autovetores significa que conseguimos representar
apenas por escalares nas direções próprias — isso facilita MUITO as contas.
Definição de “matriz simétrica”:
Uma matriz real
é simétrica quando
Ex.:
é simétrica.
Produto interno padrão:
é a soma das componentes multiplicadas, por exemplo
.
Passo 3
Propriedade central (teorema espectral, explicado de forma direta):
Se é matriz real simétrica então:
(a) todos os autovalores de
são reais;
(b) autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais;
(c) existe uma base ortonormal de autovetores, logo
é diagonalizável por uma matriz ortogonal (portanto diagonalização com vetores ortonormais).
Se
Vou demonstrar o item (b) — porque é curto e útil aqui: suponha
simétrica,
e
. Então
Mas como
é simétrica temos
. Substituindo,
Logo
. Se
, isso força
. Portanto autovetores com autovalores diferentes são ortogonais.
Observação importante: a demonstração mostra ortogonalidade quando os autovalores são distintos. Não prova (nem implica) que quaisquer dois autovetores (possivelmente do mesmo autovalor) são ortogonais automaticamente.
Passo 4
Agora vamos analisar I) com base no que sabemos.
I) Diz: “Se
é diagonalizável, então
é simétrica.”
Isso é uma afirmação do tipo “diagonalizável => simétrica”. Do que vimos: simétrico implica diagonalizável (pelo teorema espectral), mas a recíproca nem sempre vale. Existem matrizes que são diagonalizáveis mas não são simétricas. Então a afirmação I é suspeita — provavelmente falsa. Vou dar um contraexemplo concreto e mostrar passo a passo.
Isso é uma afirmação do tipo “diagonalizável => simétrica”. Do que vimos: simétrico implica diagonalizável (pelo teorema espectral), mas a recíproca nem sempre vale. Existem matrizes que são diagonalizáveis mas não são simétricas. Então a afirmação I é suspeita — provavelmente falsa. Vou dar um contraexemplo concreto e mostrar passo a passo.
Passo 5
Contraexemplo para I (matriz diagonalizável, não simétrica). Considere a matriz
Primeiro,
não é simétrica porque
Agora mostramos que
é diagonalizável encontrando dois autovetores linearmente independentes.
Calcule autovalores: resolvemos
.
Logo autovalores são
e
(dois autovalores distintos). Uma matriz com dois autovalores distintos em
tem dois autovetores linearmente independentes e, portanto, é diagonalizável.
Encontrando autovetores:
Para , resolvemos
, ou
Para
Isso dá a equação
. Podemos escolher autovetor
.
Para
, resolvemos
, ou
Isso dá
, logo
. Podemos escolher autovetor
.
Os dois autovetores
e
são linearmente independentes, portanto formam uma base de autovetores e
é diagonalizável. Conclusão:
é diagonalizável e não é simétrica. Logo a afirmação I é falsa.]
Passo 6
Comentário didático sobre I:
É comum confundir “matriz diagonalizável” com “matriz diagonal” ou com “matriz simétrica”. O que o teorema espectral garante é que matrizes simétricas reais são diagonalizáveis por uma matriz ortogonal (além de darem autovetores ortonormais). Mas muitas matrizes diagonizáveis não são simétricas; diagonalizável significa apenas que existe alguma base de autovetores, não que a matriz seja igual à sua transposta.
É comum confundir “matriz diagonalizável” com “matriz diagonal” ou com “matriz simétrica”. O que o teorema espectral garante é que matrizes simétricas reais são diagonalizáveis por uma matriz ortogonal (além de darem autovetores ortonormais). Mas muitas matrizes diagonizáveis não são simétricas; diagonalizável significa apenas que existe alguma base de autovetores, não que a matriz seja igual à sua transposta.
Passo 7
Agora analisamos II).
II) Diz: “Se
e
são autovetores de uma matriz simétrica, então
.”
A pergunta chave: há alguma hipótese faltando? Como vimos no Passo 3, autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. Mas se
e
correspondem ao mesmo autovalor (ou seja, pertencem à mesma multiplicidade de autovalor), não é obrigatório que sejam ortogonais — eles podem ser não ortogonais. Entretanto, dentro do espaço próprio (eigenspace) correspondente a um autovalor podemos aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal; mas isso não significa que quaisquer dois autovetores escolhidos aleatoriamente sejam ortogonais.
Portanto a afirmação II, tal como escrita sem restrição sobre autovalores distintos, é falsa. Vou dar um contraexemplo simples.
Passo 8
Contraexemplo para II: use a matriz identidade
Esta matriz é simétrica. Todo vetor
é autovetor de
com autovalor
. Escolha, por exemplo,
Ambos são autovetores de
. O produto interno é
Logo existem autovetores de uma matriz simétrica que não são ortogonais, o que mostra que a afirmação II (na forma dada) é falsa.]
Passo 9
Comentário didático sobre II:
O que é verdadeiramente correto é: “Se é simétrica, então autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.” Além disso, podemos escolher, em cada espaço próprio (autovalor com multiplicidade >1), uma base ortonormal; assim existe uma base completa de autovetores ortonormais. Mas isso não equivale a dizer que quaisquer dois autovetores quaisquer (sem condição sobre os autovalores) são ortogonais.
O que é verdadeiramente correto é: “Se
Passo 10
Conclusão final combinando os resultados: I é falsa (contraponto com exemplo de matriz diagonalizável não simétrica) e II é falsa (contraexemplo com a matriz identidade). Portanto ambas as afirmações são falsas.
Resposta
(C) Todas são falsas.