- Considere a sentença
.
Qual dos seguintes modelos satisfaz
?
a) O modelo M consiste no conjunto dos números naturais com P definido como
,
.
b) O modelo M’ consiste no conjunto dos números naturais com P definido como
é um número natural}.
a) O modelo
consiste no conjunto dos inteiros com P definido como
, m divide
.
a) O modelo M consiste no conjunto dos números naturais com P definido como
b) O modelo M’ consiste no conjunto dos números naturais com P definido como
a) O modelo
Passo 1
O enunciado nos dá a sentença
Isso significa: para cada elemento
do domínio, devemos encontrar elementos
e
tais que
-
seja verdadeiro, -
seja verdadeiro, - e satisfaça a implicação
, ou seja, ou é falso ou é verdadeiro.
Passo 2
Modelo (a): domínio
,
se e somente se
.
Dado qualquer , escolhemos
Dado qualquer
Então
é
, logo verdadeiro,
é
, também verdadeiro,
e é
, que é falso,
logo a implicação vale (falso
qualquer coisa é verdadeiro).
Conclusão: é satisfeita em (a).
e
logo a implicação
Conclusão:
Passo 3
Modelo (b): domínio
,
se e somente se
.
Para cada , a única forma de
é escolher
. Em seguida,
obriga
, ou seja,
.
Ficamos com
Para cada
Ficamos com
Verificamos a implicação:
é
, que só ocorre se
, isto é,
. Nesse caso
também é
, verdadeiro. Para
,
é falso e a implicação vale trivialmente.
Conclusão: é satisfeita em (b).
Conclusão:
Passo 4
Modelo (c): domínio
,
se e somente se
divide
.
Para cada , basta escolher
Para cada
Então
é “
divide
”, verdadeiro, e
é “
divide
”, também verdadeiro.
Quanto à implicação , temos
e
ambos verdadeiros, logo a implicação vale.
Conclusão: é satisfeita em (c).
Quanto à implicação
Conclusão:
Resposta
Todos os três modelos satisfazem
: (a), (b) e (c).