Derive as seguintes funções:
(b) e^y=x^cos x

Passo 1

Temos a função implícita e^y = x^cos x e queremos encontrar dydx. Vamos usar diferenciação implícita, logaritmo natural, regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Aplicamos ln em ambos os lados e usamos propriedades de logaritmo:
ln(e^y)=ln(x^cos x)
Sabemos que ln(e^y)=y e ln(x^cos x)=cos x,ln x. Portanto obtemos:
y=cos x,ln x

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo surge dydx. No direito usamos regra do produto para cos xcdotln x e derivada de cada fator:
ddx(cos x,ln x)=(-sin x)(ln x)+cos xcdot1x

Passo 4

Logo, após a diferenciação implícita, temos a expressão de dydx.

Resposta

dydx=-sin x,ln x+cos xx

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