Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace.
y^prime prime-0,25 y=0, y(0)=4, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'' - 0,25,y = 0 com as condições iniciais y(0)=4 e y'(0)=0 usando a transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas Ly'(t) = sY(s) - y(0) e Ly''(t) = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), além da tabela de transformadas para cosh(at).

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados de y'' - 0,25,y = 0 e usando as condições iniciais, obtemos:
s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0) - 0,25,Y(s) = 0
Substituindo y(0)=4 e y'(0)=0:
(s^2 - 0,25),Y(s) - 4s = 0
Isolando Y(s):
Y(s) = 4ss^2 - 0,25 = 4ss^2 - (0,5)^2

Passo 3

Na tabela de transformadas, temos Lcosh(at) = tfracss^2 - a^2. Aqui a = 0,5, então a inversa de Y(s) é 4,cosh(0,5,t).

Resposta

y(t) = 4 \cosh\bigl(0,5,t\bigr)

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