Considerando que \cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{5} e que \theta está no 4^{\underline{\mathrm{o}}} quadrante, calcule o valor de todas as outras funções trigonométricas.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede um único objetivo:
  • Dado: \cos\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.
  • Dado: o ângulo \theta está no 4^{\underline{\mathrm{o}}} quadrante.
  • Pedido: calcular os valores de todas as outras funções trigonométricas de \theta, isto é, \sin\theta, \tan\theta, \cot\theta, \operatorname{sec}\theta e \csc\theta.

Passo 2

Vamos recordar as relações que vamos usar (explicando cada uma):
  • Identidade pitagórica fundamental:
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Isto significa que o quadrado de \sin\theta mais o quadrado de \cos\theta vale sempre 1. As variáveis são: \sin\theta é o seno do ângulo \theta e \cos\theta é o cosseno de \theta.
  • Definições das funções recíprocas e da tangente:
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\qquad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},
\operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\cos\theta},\qquad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.
Aqui cada uma é simplesmente a inversa ou razão das funções básicas.
  • Sinal das funções no 4^{\underline{\mathrm{o}}} quadrante:
    Nesse quadrante, a coordenada x é positiva e y é negativa, por isso:
    \cos\theta>0, \sin\theta<0, e portanto \tan\theta<0.

Passo 3

Calcular \cos^{2}\theta a partir do dado:
\cos^{2}\theta=\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2}=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}.

Passo 4

Usar a identidade pitagórica para obter \sin^{2}\theta:
\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}.

Passo 5

Extrair \sin\theta a partir de \sin^{2}\theta. A raiz quadrada de \dfrac{4}{5} é
\sqrt{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.
Como estamos no 4^{\underline{\mathrm{o}}} quadrante, \sin\theta é negativo. Portanto
\sin\theta=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.

Passo 6

Calcular \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}. Substituindo os valores:
\tan\theta=\frac{-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}{\dfrac{\sqrt{5}}{5}}.
Simplificando (os \dfrac{1}{5} e \sqrt{5} se cancelam):
\tan\theta=-2.

Passo 7

Calcular \cot\theta como recíproco de \tan\theta ou como \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}. Usando recíproco:
\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}.

Passo 8

Calcular \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}:
\operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\dfrac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}.
(Observação: \dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5} porque \dfrac{5}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}.)

Passo 9

Calcular \csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}. Como \sin\theta=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}, temos
\csc\theta=\frac{1}{-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}=-\frac{5}{2\sqrt{5}}.
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5}):
\csc\theta=-\frac{5\sqrt{5}}{2\cdot 5}=-\frac{\sqrt{5}}{2}.

Resposta

\sin\theta=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
\tan\theta=-2
\cot\theta=-\dfrac{1}{2}
\operatorname{sec}\theta=\sqrt{5}
\csc\theta=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}

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