Considerando que
e que
está no
quadrante, calcule o valor de todas as outras funções trigonométricas.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede um único objetivo:
- Dado:
. - Dado: o ângulo
está no quadrante. - Pedido: calcular os valores de todas as outras funções trigonométricas de
, isto é, , , , e .
Passo 2
Vamos recordar as relações que vamos usar (explicando cada uma):
- Identidade pitagórica fundamental:
Isto significa que o quadrado de
mais o quadrado de
vale sempre
. As variáveis são:
é o seno do ângulo
e
é o cosseno de
.
- Definições das funções recíprocas e da tangente:
Aqui cada uma é simplesmente a inversa ou razão das funções básicas.
- Sinal das funções no
quadrante:
Nesse quadrante, a coordenadaé positiva e é negativa, por isso:
, , e portanto .
Passo 3
Calcular
a partir do dado:
Passo 4
Usar a identidade pitagórica para obter
:
Passo 5
Extrair
a partir de
. A raiz quadrada de
é
Como estamos no
quadrante,
é negativo. Portanto
Passo 6
Calcular
. Substituindo os valores:
Simplificando (os
e
se cancelam):
Passo 7
Calcular
como recíproco de
ou como
. Usando recíproco:
Passo 8
Calcular
:
(Observação:
porque
.)
Passo 9
Calcular
. Como
, temos
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por
):