Resolva cada inequação:
sabendo que
está definido somente em
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação
sabendo que
só é considerado no intervalo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Domínio considerado:
. - A expressão é uma fração cujo numerador é
e o denominador é . - A inequação é estrita (
), logo pontos onde o numerador ou denominador sejam zero não pertencem à solução.
Passo 2
Observação sobre o denominador: para todo
vale
. Logo o sinal da fração é o mesmo do numerador. Portanto a inequação equivale a
Fatorando o polinômio do primeiro fator:
Portanto esse fator tem zeros em
e
. Como é uma parábola com coeficiente do termo
negativo, seu sinal é:
- negativo em
, - positivo em
, - negativo em
.
Passo 3
Analisar
no intervalo considerado
. Zeros de
são
. No intervalo aparecem os pontos
que tornam
. O sinal de
em cada intervalo entre esses zeros é conhecido (ou pode-se testar um ponto):
- em
: (ex.: ); - em
: (ex.: ); - em
: (ex.: ); - em
: (ex.: ).
Passo 4
Agora juntamos as informações de sinal dos dois fatores
e
. Os pontos críticos no intervalo
que mudam sinal são
Analisamos cada intervalo aberto entre esses pontos (basta tomar um ponto teste em cada intervalo):
-
Em
: o fator polinomial é negativo (pois ) e . Produto: negativo negativo = positivo. Não satisfaz a inequação. -
Em
: o fator polinomial é positivo e . Produto: positivo positivo = positivo. Não satisfaz. -
Em
: o fator polinomial é negativo (pois ) e (ainda em ). Produto: negativo positivo = negativo. Satisfaz a inequação. Logo entra na solução. -
Em
: o fator polinomial é negativo e . Produto: negativo negativo = positivo. Não satisfaz. -
Em
: o fator polinomial é negativo e . Produto: negativo positivo = negativo. Satisfaz a inequação. Logo entra na solução.
Nos pontos onde algum fator zera (isto é, em
) o numerador vale zero, e como a desigualdade é estrita (
), esses pontos são excluídos da solução.
Passo 5
Concluímos que, restrito ao domínio
, a solução da inequação é a união dos intervalos onde o produto é negativo: