Resolva cada inequação:
\frac{\left(-x^{2}+\frac{\pi}{2} x\right) \cdot \operatorname{sen} x}{2^{x}}<0, \quad sabendo que f(x)=\operatorname{sen} x está definido somente em [-\pi, 3 \pi]

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
\frac{\left(-x^{2}+\frac{\pi}{2} x\right)\cdot \operatorname{sen} x}{2^{x}}<0,
sabendo que \operatorname{sen} x só é considerado no intervalo [- \pi,3\pi].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Domínio considerado: x\in[-\pi,3\pi].
  • A expressão é uma fração cujo numerador é \left(-x^{2}+\dfrac{\pi}{2}x\right)\cdot\operatorname{sen}x e o denominador é 2^{x}.
  • A inequação é estrita ( <0), logo pontos onde o numerador ou denominador sejam zero não pertencem à solução.

Passo 2

Observação sobre o denominador: para todo x\in\mathbb{R} vale 2^{x}>0. Logo o sinal da fração é o mesmo do numerador. Portanto a inequação equivale a
\left(-x^{2}+\frac{\pi}{2}x\right)\cdot \operatorname{sen}x<0.
Fatorando o polinômio do primeiro fator:
-x^{2}+\frac{\pi}{2}x = x\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right).
Portanto esse fator tem zeros em x=0 e x=\dfrac{\pi}{2}. Como é uma parábola com coeficiente do termo x^{2} negativo, seu sinal é:
  • negativo em (-\infty,0),
  • positivo em \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right),
  • negativo em \left(\dfrac{\pi}{2},\infty\right).

Passo 3

Analisar \operatorname{sen}x no intervalo considerado [- \pi,3\pi]. Zeros de \operatorname{sen}x são x=k\pi. No intervalo aparecem os pontos
-\pi,\;0,\;\pi,\;2\pi,\;3\pi,
que tornam \operatorname{sen}x=0. O sinal de \operatorname{sen}x em cada intervalo entre esses zeros é conhecido (ou pode-se testar um ponto):
  • em (-\pi,0): \operatorname{sen}x<0 (ex.: \operatorname{sen}(-\pi/2)=-1);
  • em (0,\pi): \operatorname{sen}x>0 (ex.: \operatorname{sen}(\pi/2)=1);
  • em (\pi,2\pi): \operatorname{sen}x<0 (ex.: \operatorname{sen}(3\pi/2)=-1);
  • em (2\pi,3\pi): \operatorname{sen}x>0 (ex.: \operatorname{sen}(5\pi/2)=1).

Passo 4

Agora juntamos as informações de sinal dos dois fatores x\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) e \operatorname{sen}x. Os pontos críticos no intervalo [- \pi,3\pi] que mudam sinal são
-\pi,\;0,\;\dfrac{\pi}{2},\;\pi,\;2\pi,\;3\pi.
Analisamos cada intervalo aberto entre esses pontos (basta tomar um ponto teste em cada intervalo):
  • Em (-\pi,0): o fator polinomial é negativo (pois x<0) e \operatorname{sen}x<0. Produto: negativo \times negativo = positivo. Não satisfaz a inequação.
  • Em \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right): o fator polinomial é positivo e \operatorname{sen}x>0. Produto: positivo \times positivo = positivo. Não satisfaz.
  • Em \left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right): o fator polinomial é negativo (pois x>\dfrac{\pi}{2}) e \operatorname{sen}x>0 (ainda em (0,\pi)). Produto: negativo \times positivo = negativo. Satisfaz a inequação. Logo \left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) entra na solução.
  • Em (\pi,2\pi): o fator polinomial é negativo e \operatorname{sen}x<0. Produto: negativo \times negativo = positivo. Não satisfaz.
  • Em (2\pi,3\pi): o fator polinomial é negativo e \operatorname{sen}x>0. Produto: negativo \times positivo = negativo. Satisfaz a inequação. Logo (2\pi,3\pi) entra na solução.
Nos pontos onde algum fator zera (isto é, em x=-\pi,0,\dfrac{\pi}{2},\pi,2\pi,3\pi) o numerador vale zero, e como a desigualdade é estrita ( <0), esses pontos são excluídos da solução.

Passo 5

Concluímos que, restrito ao domínio x\in[-\pi,3\pi], a solução da inequação é a união dos intervalos onde o produto é negativo:
\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\cup\left(2\pi,3\pi\right).

Resposta

\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\cup\left(2\pi,3\pi\right)

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