Calcule o valor de \operatorname{tg}\left(\frac{17 \pi}{6}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{17\pi}{6}\right). A única informação numérica fornecida é o ângulo \dfrac{17\pi}{6}.

Passo 2

Lembrete útil sobre a função tangente: a tangente tem período \pi, isto é,
\operatorname{tg}(\theta+\pi)=\operatorname{tg}(\theta)
para qualquer \theta. Em palavras: se somar ou subtrair um múltiplo inteiro de \pi ao ângulo, o valor da tangente não muda. Esta propriedade vem do fato de \operatorname{tg}(\theta)=\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta} e dos sinais periódicos de seno e cosseno.

Passo 3

Vamos reduzir o ângulo \dfrac{17\pi}{6} usando a periodicidade para ficar com um ângulo mais simples equivalente para a tangente. Subtraindo 2\pi=\dfrac{12\pi}{6} obtemos
\dfrac{17\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}.
Como 2\pi é múltiplo de \pi, pela periodicidade da tangente vale
\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{17\pi}{6}\right)=\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right).

Passo 4

Agora avaliamo \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right). Observe que
\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6}.
Usamos a identidade de tangente para ângulos complementares em relação a \pi:
\operatorname{tg}(\pi-x)=-\operatorname{tg}(x).
Aplicando com x=\dfrac{\pi}{6},
\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right).

Passo 5

Calcule \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right). Sabendo que \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2} e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)}{\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)}=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Portanto
\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 6

Se desejar uma forma com denominador racionalizado, transformamos -\dfrac{1}{\sqrt{3}} em
-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

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