Encontre os valores de x reais tais que:
\log _{2}\left(\frac{x^{3}-4 x^{2}}{-x^{2}+5 x-4}\right)>\log _{2}\left(\frac{-x^{2}-x-2}{-x^{2}+5 x-4}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem
\log_{2}\!\left(\frac{x^{3}-4x^{2}}{-x^{2}+5x-4}\right)>\log_{2}\!\left(\frac{-x^{2}-x-2}{-x^{2}+5x-4}\right).
Informações fornecidas (explicitadas):
  • Numerador do primeiro argumento: x^{3}-4x^{2}.
  • Numerador do segundo argumento: -x^{2}-x-2.
  • Denominador comum: -x^{2}+5x-4.
  • A base do logaritmo é 2 (maior que 1), o que implica que a função \log_{2} é estritamente crescente.
  • Devem ser respeitadas as condições de existência dos logaritmos (os argumentos devem ser positivos e o denominador não pode ser zero).

Passo 2

Condições de existência (domínio da desigualdade).
  1. O denominador não pode ser zero:
-x^{2}+5x-4\neq0.
Fatorando o denominador:
-x^{2}+5x-4=-(x^{2}-5x+4)=-(x-1)(x-4).
Portanto o denominador se anula em x=1 e x=4; esses valores devem ser excluídos.
  1. Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos simultaneamente:
\frac{x^{3}-4x^{2}}{-x^{2}+5x-4}>0 \qquad\text{e}\qquad \frac{-x^{2}-x-2}{-x^{2}+5x-4}>0.
Análises separadas dos numeradores:
  • Primeiro numerador:
x^{3}-4x^{2}=x^{2}(x-4).
Observação: x^{2}\ge0 para todo x, e é zero só em x=0.
  • Segundo numerador:
-x^{2}-x-2=-(x^{2}+x+2).
O discriminante de x^{2}+x+2 é 1-8=-7<0, logo x^{2}+x+2>0 para todo x. Assim
-x^{2}-x-2<0\quad\text{para todo }x.
Agora deduzimos o sinal dos argumentos usando que o sinal de uma fração é o produto do sinal do numerador pelo sinal do denominador.
  • Como -x^{2}-x-2<0 sempre, o segundo argumento \dfrac{-x^{2}-x-2}{-x^{2}+5x-4} é positivo exatamente quando o denominador é negativo. Logo
\frac{-x^{2}-x-2}{-x^{2}+5x-4}>0 \quad\Leftrightarrow\quad -x^{2}+5x-4<0.
Vamos estudar o sinal de D(x):=-x^{2}+5x-4=(x-1)(4-x):
D(x)<0\quad\text{se e somente se}\quad x<1\\ \text{ou}\\ x>4.
  • Para o primeiro argumento ser positivo, precisamos que x^{2}(x-4) e D(x) tenham o mesmo sinal (pois a fração será positiva). Ou seja:
\frac{x^{3}-4x^{2}}{D(x)}>0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{2}(x-4)\\ \text{e}\\ D(x)\\ \text{têm o mesmo sinal}.ê
Note que x^{2}(x-4)=0 em x=0 e x=4; nesses pontos a fração é 0 (ou indefinida em x=4 já que o denominador também zera), e não podem ser permitidos (logaritmo exige estritamente positivo).
Juntando as duas condições (os dois argumentos positivos) e excluindo x=1,4, obtemos a interseção:
  • De D(x)<0 temos x\in(-\infty,1)\cup(4,\infty).
  • De x^{2}(x-4)<0 (para que tenha mesmo sinal com D(x)<0) temos x\in(-\infty,0)\cup(0,4) (em x=0 é zero, proibido).
    A interseção é
x\in(-\infty,0)\cup(0,1).
Portanto a desigualdade só pode ser válida (os dois logs existem) se x estiver em (-\infty,0)\cup(0,1).

Passo 3

Redução da desigualdade usando monotonicidade do logaritmo.
Como \log_{2} é estritamente crescente, para x em que ambos os argumentos são positivos a desigualdade interna é equivalente à desigualdade entre os argumentos:
\frac{x^{3}-4x^{2}}{-x^{2}+5x-4}>\frac{-x^{2}-x-2}{-x^{2}+5x-4}.
Subtraindo o segundo membro ao lado esquerdo obtemos
\frac{x^{3}-4x^{2}-\bigl(-x^{2}-x-2\bigr)}{-x^{2}+5x-4}>0.
Simplificando o numerador:
x^{3}-4x^{2}-(-x^{2}-x-2)=x^{3}-3x^{2}+x+2.
Logo a desigualdade é
\frac{x^{3}-3x^{2}+x+2}{-x^{2}+5x-4}>0.

Passo 4

Fatoração do numerador e escrita dos fatores críticos.
Fatoramos o numerador N(x)=x^{3}-3x^{2}+x+2. Testando x=2 8-12+2+2=0, então x-2 é fator. Fazendo a divisão:
x^{3}-3x^{2}+x+2=(x-2)(x^{2}-x-1).
As raízes do quadrático x^{2}-x-1 são
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Denotando
\alpha=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\quad(\approx-0,618\dots),\qquad \beta=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\quad(\approx1,618\dots),
temos
N(x)=(x-2)(x-\alpha)(x-\beta).
O denominador já escrevemos como
D(x)=-x^{2}+5x-4=(x-1)(4-x).
Portanto a desigualdade a estudar é
\frac{(x-2)(x-\alpha)(x-\beta)}{(x-1)(4-x)}>0,
com a restrição x\in(-\infty,0)\cup(0,1).

Passo 5

Análise de sinais nos intervalos relevantes (dentro do domínio).
Os pontos críticos (zeros ou pontos onde a expressão muda de sinal) são
\alpha\approx-0{,}618,\quad 0,\quad 1,\quad 2,\quad \beta\approx1{,}618,\quad 4.
Mas, lembrando, o domínio permitido para a desigualdade é x\in(-\infty,0)\cup(0,1). Assim só nos interessam os intervalos
(-\infty,\alpha),\quad (\alpha,0),\quad (0,1).
Vamos testar o sinal da fração \dfrac{N(x)}{D(x)} em um ponto de cada intervalo.
  1. Intervalo (- \infty,\alpha). Escolha x=-1.
  • x-2=-3<0.
  • x-\alpha=-1-\alpha com \alpha\approx-0{,}618 -0{,}382<0.
  • x-\beta=-1-\beta<0.
    Logo N(x) tem sinal (-)(-)(-)= -.
    Denominador D(x)=(x-1)(4-x) em x=-1 é (-2)\cdot5=-10<0.
    Portanto N/D>0 nesse intervalo. Conclusão: a desigualdade é verdadeira para x\in(-\infty,\alpha).
  1. Intervalo (\alpha,0). Escolha x=-0{,}5.
  • x-2<0.
  • x-\alpha=-0{,}5-\alpha>0 porque -0{,}5> \alpha.
  • x-\beta<0.
    Logo N(x) tem sinal (-)(+)(-)=+.
    Denominador D(x) em x=-0{,}5 é negativo (mesmo sinal que em -1), logo D<0.
    Portanto N/D<0 nesse intervalo. A desigualdade não é satisfeita em (\alpha,0).
  1. Intervalo (0,1). Escolha x=0{,}5.
  • x-2<0.
  • x-\alpha>0 (pois 0{,}5>\alpha).
  • x-\beta<0.
    Logo novamente N(x) tem sinal (-) (+) (-)=+.
    Denominador D(x) em 0{,}5 é negativo (pois 0{,}5<1), então N/D<0.
    Portanto a desigualdade não é satisfeita em (0,1).
Juntando com o domínio, a única porção que satisfaz a desigualdade é
x\in(-\infty,\alpha),
onde \alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}.
Observações sobre extremos e pontos proibidos:
  • Em x=\alpha temos N(\alpha)=0, então os dois argumentos dos logs ficam iguais e a desigualdade estrita não é satisfeita (logo \alpha não é incluído).
  • x=0 não pertence ao domínio (primeiro argumento fica zero) e não é solução.
  • x=1,4 são pontos onde o denominador se anula e portanto são excluídos, mas ficam fora do intervalo solução já determinado.

Resposta

\left(-\infty,\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)

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