Encontre os valores de
reais tais que:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar todos os
que satisfazem
Informações fornecidas (explicitadas):
- Numerador do primeiro argumento:
. - Numerador do segundo argumento:
. - Denominador comum:
. - A base do logaritmo é
(maior que ), o que implica que a função é estritamente crescente. - Devem ser respeitadas as condições de existência dos logaritmos (os argumentos devem ser positivos e o denominador não pode ser zero).
Passo 2
Condições de existência (domínio da desigualdade).
- O denominador não pode ser zero:
Fatorando o denominador:
Portanto o denominador se anula em
e
; esses valores devem ser excluídos.
- Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos simultaneamente:
Análises separadas dos numeradores:
- Primeiro numerador:
Observação:
para todo
, e é zero só em
.
- Segundo numerador:
O discriminante de
é
, logo
para todo
. Assim
Agora deduzimos o sinal dos argumentos usando que o sinal de uma fração é o produto do sinal do numerador pelo sinal do denominador.
- Como
sempre, o segundo argumento é positivo exatamente quando o denominador é negativo. Logo
Vamos estudar o sinal de
:
- Para o primeiro argumento ser positivo, precisamos que
e tenham o mesmo sinal (pois a fração será positiva). Ou seja:
Note que
em
e
; nesses pontos a fração é
(ou indefinida em
já que o denominador também zera), e não podem ser permitidos (logaritmo exige estritamente positivo).
Juntando as duas condições (os dois argumentos positivos) e excluindo
, obtemos a interseção:
- De
temos . - De
(para que tenha mesmo sinal com ) temos (em é zero, proibido).
A interseção é
Portanto a desigualdade só pode ser válida (os dois logs existem) se
estiver em
.
Passo 3
Redução da desigualdade usando monotonicidade do logaritmo.
Como é estritamente crescente, para
em que ambos os argumentos são positivos a desigualdade interna é equivalente à desigualdade entre os argumentos:
Como
Subtraindo o segundo membro ao lado esquerdo obtemos
Simplificando o numerador:
Logo a desigualdade é
Passo 4
Fatoração do numerador e escrita dos fatores críticos.
Fatoramos o numerador . Testando
dá
, então
é fator. Fazendo a divisão:
Fatoramos o numerador
As raízes do quadrático
são
Denotando
temos
O denominador já escrevemos como
Portanto a desigualdade a estudar é
com a restrição
.
Passo 5
Análise de sinais nos intervalos relevantes (dentro do domínio).
Os pontos críticos (zeros ou pontos onde a expressão muda de sinal) são
Os pontos críticos (zeros ou pontos onde a expressão muda de sinal) são
Mas, lembrando, o domínio permitido para a desigualdade é
. Assim só nos interessam os intervalos
Vamos testar o sinal da fração
em um ponto de cada intervalo.
- Intervalo
. Escolha .
-
. -
com dá . -
.
Logotem sinal .
Denominadorem é .
Portantonesse intervalo. Conclusão: a desigualdade é verdadeira para .
- Intervalo
. Escolha .
-
. -
porque . -
.
Logotem sinal .
Denominadorem é negativo (mesmo sinal que em ), logo .
Portantonesse intervalo. A desigualdade não é satisfeita em .
- Intervalo
. Escolha .
-
. -
(pois ). -
.
Logo novamentetem sinal .
Denominadorem é negativo (pois ), então .
Portanto a desigualdade não é satisfeita em.
Juntando com o domínio, a única porção que satisfaz a desigualdade é
onde
.
Observações sobre extremos e pontos proibidos:
- Em
temos , então os dois argumentos dos logs ficam iguais e a desigualdade estrita não é satisfeita (logo não é incluído). -
não pertence ao domínio (primeiro argumento fica zero) e não é solução. -
são pontos onde o denominador se anula e portanto são excluídos, mas ficam fora do intervalo solução já determinado.