Considerando que A=\cos (x) e B=\operatorname{tg}(x), em que \operatorname{sen}(x)=-\frac{1}{5} e x \in 3^{\circ} quadrante, assinale o que for correto.
  1. A \cdot B=-\frac{1}{5}
  2. \mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}>0.
  3. A+B é um número irracional.
  4. \mathrm{A}<0 e \mathrm{B}>0.
  5. B^{2}<1.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:
  • Foi dado A=\cos(x) e B=\operatorname{tg}(x).
  • Foi dado \operatorname{sen}(x)=-\dfrac{1}{5}.
  • Foi dito que x está no 3^{\circ} quadrante.
  • Preciso verificar quais das afirmações abaixo são corretas:
    1. A\cdot B=-\dfrac{1}{5}
    2. A^{2}+B^{2}>0
    3. A+B é um número irracional.
    4. A<0 e B>0
    5. B^{2}<1

Passo 2

Sinal das razões trigonométricas no 3^{\circ} quadrante (explicação didática curta):
  • No 3^{\circ} quadrante, as coordenadas do ponto sobre a circunferência trigonométrica têm x<0 e y<0.
  • Assim, \cos(x) (que corresponde à coordenada x) é negativo, \operatorname{sen}(x) é negativo (dado), e \tan(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x} é positivo (porque razão entre dois negativos é positiva).
    Logo, esperamos \cos(x)<0 e \tan(x)>0.

Passo 3

Encontrar \cos(x) a partir de \operatorname{sen}(x) usando a identidade fundamental (aula rápida):
  • Identidade: \operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1. Aqui \operatorname{sen}(x) e \cos(x) são os valores das funções seno e cosseno para o mesmo ângulo x.
  • Substituindo \operatorname{sen}(x)=-\dfrac{1}{5} temos
\cos^{2}(x)=1-\operatorname{sen}^{2}(x)=1-\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{2}=1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25}.
  • Então \cos(x)=\pm\sqrt{\dfrac{24}{25}}=\pm\dfrac{\sqrt{24}}{5}=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{5}.
  • Como x está no 3^{\circ} quadrante e vimos que \cos(x)<0 ali, escolhemos o sinal negativo:
\cos(x)=-\dfrac{2\sqrt{6}}{5}.
(Explicação de como simplifiquei \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt6.)

Passo 4

Calcular \tan(x) usando \tan(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)} (aula curta):
  • Substituindo os valores:
\tan(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{5}}{-\dfrac{2\sqrt{6}}{5}}=\dfrac{-1/5}{-2\sqrt6/5}=\dfrac{-1}{5}\cdot\dfrac{5}{-2\sqrt6}=\dfrac{1}{2\sqrt6}.
  • Racionalizando (opcional, só para ficar mais bonito):
\tan(x)=\dfrac{1}{2\sqrt6}\cdot\dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{12}.
Portanto
B=\tan(x)=\dfrac{1}{2\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{12}.

Passo 5

Verificação da afirmação 01: A\cdot B=-\dfrac{1}{5} ? (passo lógico simples)
  • Sabendo que A=\cos(x) e B=\tan(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)},
A\cdot B=\cos(x)\cdot\tan(x)=\cos(x)\cdot\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}=\operatorname{sen}(x).
  • Como \operatorname{sen}(x)=-\dfrac{1}{5} (dado), concluímos que
A\cdot B=-\dfrac{1}{5}.
Logo a afirmação 01 é verdadeira.

Passo 6

Verificação da afirmação 02: A^{2}+B^{2}>0 ? (explicação e cálculo)
  • Em geral, quadrados são números não negativos ( z^{2}\ge0 para qualquer real z). Se pelo menos um dos termos não for zero, a soma é estritamente positiva. Aqui \operatorname{sen}(x)=-\dfrac{1}{5}\neq0 implica \cos(x)\neq0 e \tan(x)\neq0. Portanto a soma dos quadrados é >0.
  • Podemos também calcular numericamente:
A^{2}=\cos^{2}(x)=\dfrac{24}{25},\qquad B^{2}=\tan^{2}(x)=\left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^{2}=\dfrac{1}{24}.
A^{2}+B^{2}=\dfrac{24}{25}+\dfrac{1}{24}>\;0.
Logo a afirmação 02 é verdadeira.

Passo 7

Verificação da afirmação 04: A+B é irracional? (detalhado)
  • Substituindo os valores exatos:
A+B=\cos(x)+\tan(x)=-\dfrac{2\sqrt6}{5}+\dfrac{\sqrt6}{12}.
  • Colocando em evidência \sqrt6:
A+B=\sqrt6\left(-\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{12}\right)=\sqrt6\left(-\dfrac{24}{60}+\dfrac{5}{60}\right)=\sqrt6\left(-\dfrac{19}{60}\right)=-\dfrac{19}{60}\sqrt6.
  • Observação teórica: \sqrt6 é irracional. Um múltiplo racional não-nulo de um número irracional é irracional. Aqui o múltiplo racional é -\dfrac{19}{60}\neq0, portanto A+B é irracional.
    Logo a afirmação 04 é verdadeira.

Passo 8

Verificação da afirmação 08: A<0 e B>0 ? (confirmação final com números)
  • Do Passo 3 temos A=\cos(x)=-\dfrac{2\sqrt6}{5}<0.
  • Do Passo 4 temos B=\tan(x)=\dfrac{\sqrt6}{12}>0.
    Portanto a afirmação 08 é verdadeira.

Passo 9

Verificação da afirmação 16: B^{2}<1 ? (cálculo)
  • Do Passo 4 temos B=\dfrac{1}{2\sqrt6}. Então
B^{2}=\dfrac{1}{(2\sqrt6)^{2}}=\dfrac{1}{4\cdot6}=\dfrac{1}{24}.
  • Como \dfrac{1}{24}<1, a afirmação 16 é verdadeira.

Resposta

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