Considerando que
e
, em que
e
quadrante, assinale o que for correto.
-
-
.
-
é um número irracional.
-
e
.
-
.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:
- Foi dado
e . - Foi dado
. - Foi dito que
está no quadrante. - Preciso verificar quais das afirmações abaixo são corretas:
-
-
-
é um número irracional. -
e -
-
Passo 2
Sinal das razões trigonométricas no
quadrante (explicação didática curta):
- No
quadrante, as coordenadas do ponto sobre a circunferência trigonométrica têm e . - Assim,
(que corresponde à coordenada ) é negativo, é negativo (dado), e é positivo (porque razão entre dois negativos é positiva).
Logo, esperamose .
Passo 3
Encontrar
a partir de
usando a identidade fundamental (aula rápida):
- Identidade:
. Aqui e são os valores das funções seno e cosseno para o mesmo ângulo . - Substituindo
temos
- Então
- Como
está no quadrante e vimos que ali, escolhemos o sinal negativo:
(Explicação de como simplifiquei
.)
Passo 4
Calcular
usando
(aula curta):
- Substituindo os valores:
- Racionalizando (opcional, só para ficar mais bonito):
Portanto
Passo 5
Verificação da afirmação 01:
? (passo lógico simples)
- Sabendo que
e ,
- Como
(dado), concluímos que
Logo a afirmação 01 é verdadeira.
Passo 6
Verificação da afirmação 02:
? (explicação e cálculo)
- Em geral, quadrados são números não negativos (
para qualquer real ). Se pelo menos um dos termos não for zero, a soma é estritamente positiva. Aqui implica e . Portanto a soma dos quadrados é . - Podemos também calcular numericamente:
Logo a afirmação 02 é verdadeira.
Passo 7
Verificação da afirmação 04:
é irracional? (detalhado)
- Substituindo os valores exatos:
- Colocando em evidência
:
- Observação teórica:
é irracional. Um múltiplo racional não-nulo de um número irracional é irracional. Aqui o múltiplo racional é , portanto é irracional.
Logo a afirmação 04 é verdadeira.
Passo 8
Verificação da afirmação 08:
e
? (confirmação final com números)
- Do Passo 3 temos
. - Do Passo 4 temos
.
Portanto a afirmação 08 é verdadeira.
Passo 9
Verificação da afirmação 16:
? (cálculo)
- Do Passo 4 temos
. Então
- Como
, a afirmação 16 é verdadeira.