Resolva as equações:
(b)
y^{2}-1-(2 y+x y) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{2}-1-(2 y+x y)y'=0,
onde y é função de x e y'=\dfrac{dy}{dx}. A tarefa é encontrar a solução geral y(x) (não há condições iniciais). Dados relevantes: a equação envolve y, y' e x. Vamos buscar uma solução geral (implícita ou explícita) e verificar soluções constantes possíveis.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando y'. Primeiro movemos o termo contendo y' para o outro lado:
(2y+xy)y' = y^{2}-1.
Fatorando y no coeficiente de y':
y(2+x)\,y' = y^{2}-1.
Aqui assumimos temporariamente y\neq 0 e x\neq -2 ao dividir por esses fatores; mais adiante veremos as soluções constantes e a extensão do resultado.

Passo 3

Isolamos y' como taxa de variação \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-1}{y(2+x)}.
Agora percebemos que a equação é separável: podemos colocar todos os termos em y multiplicando dy de um lado e os termos em x de outro lado. Fazemos:
\frac{y}{y^{2}-1}\,dy = \frac{dx}{x+2}.
Explicando a ideia: separar variáveis significa escrever algo da forma g(y)\,dy = h(x)\,dx para integrar cada lado em sua variável.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Primeiro a integral em y:
\int \frac{y}{y^{2}-1}\,dy.
Fazemos a substituição u=y^{2}-1. Então du=2y\,dy, ou seja y\,dy=\dfrac{du}{2}. A integral vira
\int \frac{y}{y^{2}-1}\,dy = \int \frac{1}{2}\,\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u| + C_1 = \frac{1}{2}\ln|y^{2}-1| + C_1.
Agora a integral do lado direito:
\int \frac{dx}{x+2} = \ln|x+2| + C_2.
Juntando (absorvendo constantes C_1-C_2 numa única constante C):
\frac{1}{2}\ln|y^{2}-1| = \ln|x+2| + C.

Passo 5

Multiplicamos por 2 e exponenciamos para eliminar o logaritmo. Temos
\ln|y^{2}-1| = 2\ln|x+2| + C_1 = \ln\big((x+2)^{2}\big) + C_1.
Exponenciando:
|y^{2}-1| = C_2 (x+2)^{2},
onde C_2>0 é e^{C_1}. Como podemos permitir constante arbitrária real (incluindo sinal), escrevemos a forma mais simples com uma constante C\in\mathbb{R}:
y^{2}-1 = C (x+2)^{2}.
Essa é a solução implícita geral, válida quando fizemos a separação. Note que C=0 y^{2}-1=0, ou seja y=\pm 1, que são soluções constantes da equação original (verificação direta: para y=\pm1 tem-se y'=0 e a equação fica satisfeita).

Passo 6

Podemos escrever explicitamente y em função de x isolando y:
y=\pm\sqrt{\,1 + C (x+2)^{2}\,},
onde a escolha do sinal pode, em princípio, depender do ramo da solução (atenção ao domínio: para raízes reais o conteúdo do radical deve ser não negativo; porém como C é arbitrário, isso é levado em conta pela escolha de C). Verificação rápida: derivando implicitamente y^{2}-1=C(x+2)^{2} obtemos 2y y' = 2C(x+2), logo y'=\dfrac{C(x+2)}{y}; substituindo C=\dfrac{y^{2}-1}{(x+2)^{2}} recuperamos y'=\dfrac{y^{2}-1}{y(x+2)}, ou seja, a equação original é satisfeita.

Passo 7

Observações finais e casos especiais:
  • A tentativa de dividir por y excluiu y=0; testando y=0 na equação original obtemos -1\neq 0, logo y\equiv 0 não é solução.
  • O ponto x=-2 foi excluído temporariamente na separação (pela integral de \dfrac{1}{x+2}), mas a forma final y^{2}-1=C(x+2)^{2} permite valores de x próximos ou iguais a -2; para x=-2 obtemos y=\pm1, consistente com a solução particular C=0.

Resposta

y^{2}-1 = C(x+2)^{2},\qquad C\in\mathbb{R}
y=\pm\sqrt{\,1 + C (x+2)^{2}\,},\qquad C\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados