Resolva as equações:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
é função de
e
. A tarefa é encontrar a solução geral
(não há condições iniciais). Dados relevantes: a equação envolve
,
e
. Vamos buscar uma solução geral (implícita ou explícita) e verificar soluções constantes possíveis.
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando
. Primeiro movemos o termo contendo
para o outro lado:
Fatorando
no coeficiente de
:
Aqui assumimos temporariamente
e
ao dividir por esses fatores; mais adiante veremos as soluções constantes e a extensão do resultado.
Passo 3
Isolamos
como taxa de variação
:
Agora percebemos que a equação é separável: podemos colocar todos os termos em
multiplicando
de um lado e os termos em
de outro lado. Fazemos:
Explicando a ideia: separar variáveis significa escrever algo da forma
para integrar cada lado em sua variável.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Primeiro a integral em
:
Fazemos a substituição
. Então
, ou seja
. A integral vira
Agora a integral do lado direito:
Juntando (absorvendo constantes
numa única constante
):
Passo 5
Multiplicamos por
e exponenciamos para eliminar o logaritmo. Temos
Exponenciando:
onde
é
. Como podemos permitir constante arbitrária real (incluindo sinal), escrevemos a forma mais simples com uma constante
:
Essa é a solução implícita geral, válida quando fizemos a separação. Note que
dá
, ou seja
, que são soluções constantes da equação original (verificação direta: para
tem-se
e a equação fica satisfeita).
Passo 6
Podemos escrever explicitamente
em função de
isolando
:
onde a escolha do sinal pode, em princípio, depender do ramo da solução (atenção ao domínio: para raízes reais o conteúdo do radical deve ser não negativo; porém como
é arbitrário, isso é levado em conta pela escolha de
). Verificação rápida: derivando implicitamente
obtemos
, logo
; substituindo
recuperamos
, ou seja, a equação original é satisfeita.
Passo 7
Observações finais e casos especiais:
- A tentativa de dividir por
excluiu ; testando na equação original obtemos , logo não é solução. - O ponto
foi excluído temporariamente na separação (pela integral de ), mas a forma final permite valores de próximos ou iguais a ; para obtemos , consistente com a solução particular .