P V I=\left\{\begin{array}{l} (x+\sqrt{x}) \frac{d y}{d x}+2 y=1 \\\ y(0)=\frac{1}{2} \end{array}\right.
Assinale a(as) alternativa(s) correta(s)
Escolha uma ou mais: \square a. Essa EDO não é linear \square b. Satisfaz a condições do Teorema de Existência e Unicidade \square c. Não Satisfaz as condições do Teorema de Existência e Unicidade \square d. Uma solução desse problema é y=\frac{1}{2} \square e. Sua EDO tem solução geral dada por |1-2 y|^{-\frac{1}{2}}=e^{x+k} com k \in R, y<\frac{1}{2}.
e pede que eu assinale as alternativas corretas dentre:
a) Essa EDO não é linear
b) Satisfaz as condições do Teorema de Existência e Unicidade
c) Não Satisfaz as condições do Teorema de Existência e Unicidade
d) Uma solução desse problema é y=\dfrac{1}{2}
e) Sua EDO tem solução geral dada por |1-2y|^{-\frac{1}{2}}=e^{x+k} com k\in\mathbb{R},\; y<\dfrac{1}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
A equação diferencial é de primeira ordem e linear em y (ao olhar a forma algébrica).
O coeficiente que multiplica \dfrac{dy}{dx} é x+\sqrt{x}, que vale zero em x=0 (pois \sqrt{0}=0).
A condição inicial está em x=0, exatamente no ponto onde o coeficiente do termo derivada é zero.]
Passo 2
Verificação da linearidade (afirmação da alternativa a).
Definição prática: uma EDO é linear em y se aparece da forma a_1(x)\dfrac{dy}{dx}+a_0(x)y=b(x), ou equivalentemente \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) quando dividimos por a_1(x) (onde permitido). Aqui temos exatamente
(x+\sqrt{x})\dfrac{dy}{dx}+2y=1,
que é da forma a_1(x)\dfrac{dy}{dx}+a_0(x)y=b(x) com a_1(x)=x+\sqrt{x}, a_0(x)=2, b(x)=1. Portanto a equação é linear em y como equação algébrica; a propriedade de linearidade não deixa de valer só porque a_1(0)=0. Conclusão: a alternativa (a) é falsa.
Explicação didática curta: linearidade trata de como y e suas derivadas aparecem (somadas e multiplicadas por funções de x), não exige que os coeficientes sejam não nulos em todo lugar. Então marcar “não é linear” seria incorreto.
Passo 3
Condições do Teorema de Existência e Unicidade (alternativas b e c).
O teorema clássico (Picard–Lindelöf) exige escrever a EDO na forma normal
\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)
e que f e \partial f/\partial y sejam contínuas em um retângulo em torno do ponto inicial (x_0,y_0). Aqui, isolando \dfrac{dy}{dx} (quando possível),
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1-2y}{x+\sqrt{x}}.
Para x=0 o denominador x+\sqrt{x} é zero, então f(x,y)=\dfrac{1-2y}{x+\sqrt{x}} NÃO está definida em x=0 e, consequentemente, não é contínua nem tem derivada parcial contínua em torno de (0,\tfrac{1}{2}). Logo as hipóteses do teorema NÃO são satisfeitas no ponto inicial x=0.
Conclusão: a alternativa (b) é falsa e a alternativa (c) é verdadeira.
Comentário empático: isso quer dizer que o teorema padrão não nos garante existência/ unicidade na forma usual — mas pode haver soluções e até unicidade por argumentos diretos; o teorema só não se aplica por falta de continuidade em x=0.
Passo 4
Verificação direta da alternativa (d): testar y=\dfrac{1}{2}.
Se y\equiv\dfrac{1}{2} então \dfrac{dy}{dx}=0. Substituindo na EDO:
(x+\sqrt{x})\cdot 0 + 2\cdot \dfrac{1}{2}=1,
ou seja 1=1, identidade verdadeira para todo x onde a equação faz sentido (aqui para x\ge 0). Além disso y(0)=\tfrac{1}{2} satisfaz a condição inicial. Portanto y\equiv\dfrac{1}{2} é de fato uma solução do PVI. Conclusão: a alternativa (d) é verdadeira.
Observação didática: ter um coeficiente zero multiplicando \dfrac{dy}{dx} não impede que uma função constante seja solução — basta que os outros termos da equação se anulem corretamente, como aconteceu.
Passo 5
Resolver a EDO de forma geral (para x>0) e comparar com a alternativa (e).
Para x>0 podemos dividir por x+\sqrt{x} e obter a forma separável
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1-2y}{x+\sqrt{x}}.
Separando variáveis:
\dfrac{dy}{1-2y}=\dfrac{dx}{x+\sqrt{x}}.
Integramos ambos os lados. Começo pelo lado esquerdo:
Agora verifico o que a alternativa (e) propõe: |1-2y|^{-1/2}=e^{x+k}. Isso é incompatível com a forma que encontramos, porque do nosso resultado
|1-2y| = K(\sqrt{x}+1)^{-4},
logo
|1-2y|^{-1/2} = K^{-1/2}(\sqrt{x}+1)^{2},
que é uma potência algébrica de \sqrt{x}+1, não uma exponencial e^{x+k}. Portanto a alternativa (e) é falsa.
Além disso, analisando a condição inicial y(0)=\tfrac{1}{2}: em x=0 temos \sqrt{0}+1=1, então |1-2y(0)|=K\cdot 1^{-4}=K. Mas 1-2y(0)=1-2\cdot\tfrac{1}{2}=0, logo K=0. Isso reduz a solução geral para 1-2y\equiv 0, ou seja y\equiv\tfrac{1}{2}. Portanto a única solução contínua da família obtida por separação que satisfaz a condição inicial é a solução constante y=\tfrac{1}{2}.
Comentário: apesar das hipóteses do teorema não se aplicarem, a análise direta mostrou que há (pelo menos) uma solução que satisfaz o PVI e que, dentro da família obtida para x>0, a condição inicial força K=0, dando a solução constante. Em problemas com singularidade no coeficiente, atitudes como essa (separação e análise do valor em x=0) são úteis.