Questão 1: Calcule os limites abaixo, se possível. (Nesta questão escolha dois dos três itens para resolver).
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{\sqrt{x+6}-2}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -2} \frac{\sqrt{x+6}-2}{x+2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{domínio: }x+6\ge 0\Rightarrow x\ge -6,í
logo o ponto x=-2 está dentro do domínio permitido. A única coisa que precisamos é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de -2.

Passo 2

Teste de substituição direta: substituindo x=-2 na expressão obtemos
\frac{\sqrt{-2+6}-2}{-2+2}=\frac{\sqrt{4}-2}{0}=\frac{2-2}{0}=\frac{0}{0}.
O resultado \frac{0}{0} é uma forma indeterminada: não significa que o limite é 0 nem infinito; significa que precisamos manipular a expressão para remover a indeterminação antes de avaliar o limite.

Passo 3

Técnica escolhida: racionalizar o numerador usando o conjugado. O conjugado de \sqrt{x+6}-2 é \sqrt{x+6}+2. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado (isso é multiplicar por 1, portanto não altera o valor, para x\neq -2):
\frac{\sqrt{x+6}-2}{x+2}\cdot\frac{\sqrt{x+6}+2}{\sqrt{x+6}+2}.
Essa é uma técnica muito comum: ao multiplicar uma diferença de raízes pelo seu conjugado, obtemos uma diferença de quadrados que elimina a raiz.

Passo 4

Calcule o produto no numerador usando a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
(\sqrt{x+6}-2)(\sqrt{x+6}+2)=(\sqrt{x+6})^2-2^2=x+6-4=x+2.
Portanto a expressão fica
\frac{x+2}{(x+2)(\sqrt{x+6}+2)}.

Passo 5

Como estamos estudando o limite quando x se aproxima de -2 (e não exatamente em x=-2), podemos cancelar o fator comum x+2 desde que x\neq -2. Após o cancelamento obtemos a função simplificada, válida para x\neq -2:
\frac{1}{\sqrt{x+6}+2}.
Essa função é contínua no entorno de x=-2, portanto podemos avaliar o limite por substituição direta nesta forma simplificada.

Passo 6

Avaliação final do limite por substituição:
\lim_{x\to -2}\frac{1}{\sqrt{x+6}+2}=\frac{1}{\sqrt{-2+6}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}.
Como verificação alternativa (opcional), poderíamos usar a regra de L’Hôpital: derivada do numerador \frac{d}{dx}\sqrt{x+6}=\frac{1}{2\sqrt{x+6}}, derivada do denominador =1; avaliando em x=-2 \frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}, mesmo resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

Exercícios relacionados