Considerando a curva
sigma(t)=(2 tt^2+1, t^2-1t^2+1), t in R
resolva os itens abaixo:
(a) Verifique que [x(t)]^2+[y(t)]^2=1. O que podemos concluir disso?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma curva parametrizada por:
sigma(t)=(2 tt^2+1, t^2-1t^2+1), t in R
Precisamos verificar se [x(t)]^2 + [y(t)]^2 = 1 e, a partir disso, concluir algo sobre a curva. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos básicos de álgebra e geometria analítica, especificamente a equação da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular x(t)^2:
x(t) = 2tt^2 + 1
Então,
x(t)^2 = ( 2tt^2 + 1 )^2 = 4t^2(t^2 + 1)^2

Passo 3

Agora, vamos calcular y(t)^2:
y(t) = t^2 - 1t^2 + 1
Então,
y(t)^2 = ( t^2 - 1t^2 + 1 )^2 = (t^2 - 1)^2(t^2 + 1)^2 = t^4 - 2t^2 + 1(t^2 + 1)^2

Passo 4

Agora, vamos somar x(t)^2 e y(t)^2:
x(t)^2 + y(t)^2 = 4t^2(t^2 + 1)^2 + t^4 - 2t^2 + 1(t^2 + 1)^2 = 4t^2 + t^4 - 2t^2 + 1(t^2 + 1)^2 = t^4 + 2t^2 + 1(t^2 + 1)^2

Passo 5

Observe que o numerador t^4 + 2t^2 + 1 pode ser fatorado como:
t^4 + 2t^2 + 1 = (t^2 + 1)^2
Então, substituindo de volta:
x(t)^2 + y(t)^2 = (t^2 + 1)^2(t^2 + 1)^2 = 1

Resposta

Nós verificamos que x(t)^2 + y(t)^2 = 1, portanto, a curva descrita pela função sigma(t) está sobre a circunferência de raio 1, centrada na origem.

Exercícios relacionados