Encontre a derivada da função. Simplifíque o resultado sempre que possível.
g(x)=sec ^-1(e^x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=sec^-1l(e^xr)
O conteúdo envolvido é derivada de função composta, usando a fórmula da derivada de sec^-1(u) combinada com a regra da cadeia.

Passo 2

Recordamos que, para u=u(x), vale
ddxl[sec^-1(u)r] =u'lvert urvertraizu^2-1

Passo 3

Aqui temos u(x)=e^x. Então
u'(x)=ddxl(e^xr)=e^x

Passo 4

Substituindo na fórmula da derivada de sec^-1(u), obtemos
g'(x) =u'lvert urvertraizu^2-1 =e^xlvert e^xrvertraize^2x-1
Como e^x>0 para todo x, temos lvert e^xrvert=e^x. Logo
g'(x) =e^xe^xraize^2x-1 =1raize^2x-1

Resposta

g'(x)=1raize^2x-1

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