Considerando a curva
sigma(t)=(2 tt^2+1, t^2-1t^2+1), t in R
resolva os itens abaixo:
(b) Encontre os pontos de sigma(t) em que a tangente é vertical.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos na curva dada por sigma(t) = (2tt^2+1, t^2-1t^2+1) onde a tangente é vertical. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, onde vamos precisar encontrar a derivada da curva para identificar onde a tangente fica vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma tangente é vertical quando a derivada dydx é indefinida, ou seja, quando o denominador dessa fração é zero. Então, vamos calcular dydt e dxdt para depois encontrar dydx = dydtdxdt.

Passo 3

Vamos calcular dxdt onde x(t) = 2tt^2+1.
Usando a regra do quociente:
dxdt = (2)(t^2+1) - 2t(2t)(t^2+1)^2 = 2t^2 + 2 - 4t^2(t^2+1)^2 = -2t^2 + 2(t^2+1)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular dydt onde y(t) = t^2-1t^2+1.
Também usando a regra do quociente:
dydt = (2t)(t^2+1) - (t^2-1)(2t)(t^2+1)^2 = 2t^3 + 2t - 2t^3 + 2t(t^2+1)^2 = 4t(t^2+1)^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar dydx:
dydx = dydtdxdt = 4t(t^2+1)^2-2t^2 + 2(t^2+1)^2 = 4t-2t^2 + 2 = 4t2(1 - t^2) = 2t1 - t^2

Passo 6

Para a tangente ser vertical, dydx precisa ser indefinida, ou seja, o denominador deve ser zero:
1 - t^2 = 0 implies t^2 = 1 implies t = pm 1

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes a t = 1 e t = -1.
Para t = 1:
x(1) = 2(1)1^2+1 = 22 = 1
y(1) = 1^2-11^2+1 = 02 = 0
Então, o ponto é (1, 0).
Para t = -1:
x(-1) = 2(-1)(-1)^2+1 = -22 = -1
y(-1) = (-1)^2-1(-1)^2+1 = 02 = 0
Então, o ponto é (-1, 0).

Resposta

Os pontos onde a tangente é vertical são (1, 0) e (-1, 0).

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