Considerando D=(x, y): 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2, assinale o valor da integral dupla integral duplaD e^xy d A.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=e^xy sobre o retângulo D=(x,y):0<= x<=1,,1<= y<=2. O conteúdo é integração dupla e vamos usar a ideia de integral iterada e separação de variáveis.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como integral iterada:
integral duplaD e^xy,dA =integralx=0^1integraly=1^2 e^xy,dy,dx

Passo 3

Observando que e^xy=e^xcdot1y, podemos fatorar e^x fora da integral em y. Calculamos primeiro a integral interna em y:
integraly=1^21y,dy=l[ln yr]1^2=ln2

Passo 4

Em seguida, calculamos a integral externa em x multiplicada por ln2:
ln2integralx=0^1e^x,dx =ln2l[e^xr]0^1=ln2,(e-1)

Passo 5

Portanto, combinando os resultados, a integral dupla vale (e-1)ln2.

Resposta

(e-1)\ln2

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