Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
(g) lim x 3^+ raizx^3-27x^2+1

Passo 1

Vamos analisar o limite lim x 3^+ raizx^3-27x^2+1. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente um limite lateral (quando x se aproxima de 3 pela direita, ou seja, valores maiores que 3). Para resolver esse limite, vamos precisar entender como as funções dentro da raiz se comportam conforme x se aproxima de 3. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa x 3^+. Isso indica que x está se aproximando de 3 por valores maiores que 3. Por exemplo, x pode estar tomando valores como 3.1, 3.01, 3.001, e assim por diante.

Passo 3

Vamos analisar a expressão dentro da raiz: x^3 - 27x^2 + 1.
  • Numerador ( x^3 - 27): Podemos reescrever isso como x^3 - 3^3, que é uma diferença de cubos. Sabemos que x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + xa + a^2). Aplicando isso, temos:
    x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)
  • Denominador ( x^2 + 1): Essa é uma expressão quadrática simples que sempre será positiva para qualquer valor real de x.

Passo 4

Agora, substituímos o numerador fatorado na expressão original:
x^3 - 27x^2 + 1 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)x^2 + 1
À medida que x se aproxima de 3, x - 3 se aproxima de 0. Isso sugere que o numerador está se aproximando de 0.

Passo 5

Vamos avaliar o comportamento da função dentro da raiz quando x está próximo de 3:
  • Numerador aproximando de 0: Como x - 3 0, e x^2 + 3x + 9 se aproxima de 3^2 + 3 times 3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27, o numerador será aproximadamente 0 times 27 = 0.
  • Denominador aproximando de 10: Quando x 3, x^2 + 1 se aproxima de 9 + 1 = 10.
Então, a fração inteira x^3 - 27x^2 + 1 está se aproximando de 010 = 0.

Passo 6

Agora, voltando à expressão original do limite:
lim x 3^+ raizx^3-27x^2+1 = raiz lim x 3^+ x^3-27x^2+1 = raiz0 = 0
Isso porque a raiz quadrada é uma função contínua, então o limite da raiz é a raiz do limite.

Resposta

O limite é igual a 0.

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