Considerando os dados da tabela abaixo, podemos dizer que há correlação entre o sexo e a frequência de atividades físicas? Justifique sua resposta.
Frequência de Atividades H M Total
Ativo 149 148 297
Sedentário 13 5 18
Eventual 31 10 41
Total 193 163 356

Passo 1

O enunciado apresenta uma tabela de contingência com a frequência de atividades físicas (três categorias: Ativo, Sedentário, Eventual) cruzada com o sexo (duas categorias: H e M). A pergunta é: podemos dizer que há correlação (associação) entre o sexo e a frequência de atividades físicas?
Dados fornecidos (peguei da tabela do enunciado):
\begin{array}{lccc} & H & M & \text{Total} \\\ \text{Ativo} & 149 & 148 & 297 \\\ \text{Sedentário} & 13 & 5 & 18 \\\ \text{Eventual} & 31 & 10 & 41 \\\ \text{Total} & 193 & 163 & 356 \end{array}á

Passo 2

O que vou fazer (explicação didática e escolha do método): aqui temos duas variáveis qualitativas (sexo e categoria de atividade) organizadas em uma tabela de contingência. Para verificar se existe associação entre elas, o procedimento padrão e mais simples — que costuma cair em prova — é o teste de independência qui‑quadrado (teste \chi^2) para tabela r\times c. Vou usar esse teste porque: (a) ele testa exatamente se as duas variáveis são independentes (sem correlação) ou associadas; (b) é simples de aplicar manualmente; (c) as frequências esperadas são suficientemente grandes (verifico isso adiante). Vou adotar nível de significância usual \alpha=0,05.

Passo 3

Hipóteses do teste (explicando o que significa cada uma):
H_0:\\ \text{sexo e frequência de atividades são independentes (sem associação).}êãçã
H_1:\\ \text{existe associação entre sexo e frequência de atividades.}çãê

Passo 4

Fórmula das frequências esperadas e cálculo (aula rápida): sob H_0 (independência), a frequência esperada de uma célula é dada por
\text{esperado}=\frac{(\text{soma da linha})\times(\text{soma da coluna})}{\text{total geral}}.
Vou calcular cada esperado usando os totais da tabela ( N=356).
Ativo, coluna H:
E_{(\text{Ativo},H)}=\frac{297\cdot 193}{356}=\frac{57\,321}{356}\approx161,011.
Ativo, coluna M:
E_{(\text{Ativo},M)}=\frac{297\cdot 163}{356}=\frac{48\,411}{356}\approx135,989.
Sedentário, coluna H:
E_{(\text{Sedentário},H)}=\frac{18\cdot 193}{356}=\frac{3\,474}{356}\approx9,761.á
Sedentário, coluna M:
E_{(\text{Sedentário},M)}=\frac{18\cdot 163}{356}=\frac{2\,934}{356}\approx8,239.á
Eventual, coluna H:
E_{(\text{Eventual},H)}=\frac{41\cdot 193}{356}=\frac{7\,913}{356}\approx22,228.
Eventual, coluna M:
E_{(\text{Eventual},M)}=\frac{41\cdot 163}{356}=\frac{6\,683}{356}\approx18,772.

Passo 5

Verificação da validade do teste (regra prática): o teste \chi^2 exige que as frequências esperadas não sejam muito pequenas (regra comum: todas \ge 5). Aqui os esperados calculados são aproximadamente
161,01;\\\ 135,99;\\\ 9,76;\\\ 8,24;\\\ 22,23;\\\ 18,77,
todos maiores que 5. Portanto o uso do teste \chi^2 é apropriado.

Passo 6

Fórmula do estatístico \chi^2 e cálculo das contribuições (aula rápida): o estatístico é
\chi^2=\sum_{\text{todas as células}}\frac{(O-E)^2}{E},é
onde O é a frequência observada e E a frequência esperada. Vou calcular cada contribuição:
Ativo, H: O=149,\\ E\approx161,011
\frac{(149-161,011)^2}{161,011}\approx0,8964.
Ativo, M: O=148,\\ E\approx135,989
\frac{(148-135,989)^2}{135,989}\approx1,0614.
Sedentário, H: O=13,\\ E\approx9,761
\frac{(13-9,761)^2}{9,761}\approx1,0767.
Sedentário, M: O=5,\\ E\approx8,239
\frac{(5-8,239)^2}{8,239}\approx1,2749.
Eventual, H: O=31,\\ E\approx22,228
\frac{(31-22,228)^2}{22,228}\approx3,4622.
Eventual, M: O=10,\\ E\approx18,772
\frac{(10-18,772)^2}{18,772}\approx4,1036.
Somando todas as contribuições:
\chi^2 \approx 0,8964+1,0614+1,0767+1,2749+3,4622+4,1036 \approx 11,875.

Passo 7

Graus de liberdade e decisão (explicando): para uma tabela r\times c temos df=(r-1)(c-1). Aqui r=3 e c=2, então
df=(3-1)(2-1)=2.
Ao nível \alpha=0,05 o valor crítico da \chi^2 com 2 graus de liberdade é aproximadamente \chi^2_{0,95;2}=5,991. Como o estatístico calculado \chi^2\approx11,88 é bem maior que 5,991, rejeitamos H_0. O p-valor correspondente é pequeno (aproximadamente p\approx0,0026), confirmando que a evidência contra H_0 é forte.

Passo 8

Interpretação final em linguagem simples e incentivo: rejeitar H_0 significa que as diferenças observadas entre homens e mulheres nas categorias (Ativo, Sedentário, Eventual) não são compatíveis com a hipótese de independência — ou seja, existe associação entre o sexo e a frequência de atividades físicas. Observação prática dos percentuais (para ajudar a entender): por exemplo, a proporção de “Eventual” é maior entre H ( 31/193\approx16,1\%) do que entre M ( 10/163\approx6,1\%), o que contribui para a associação detectada. Boa notícia: você já consegue explicar isso na prova com números!

Resposta

Sim. Teste de independência qui‑quadrado: \chi^2(2)\approx11,88, p\approx0,0026; ao nível \alpha=0,05 rejeita‑se H_0, logo há associação entre sexo e frequência de atividades físicas.

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