Considere os seguintes conjuntos de dados:
Conjunto A: Alturas de jogadores de basquete (em centímetros) 198, 202, 195, 200, 197, 203, 199, 201
Conjunto B: Salários mensais de executivos (em milhares de reais) 15,22,18,25,19,23,20,24
(a) Calcule a média e o desvio padrão para cada conjunto.
(b) Calcule o coeficiente de variação (CV) para ambos os conjuntos.
(c) Qual conjunto apresenta maior variabilidade relativa? Justifique por que o CV é mais adequado para esta comparação do que o desvio padrão.
(d) Em quais situações práticas o uso do CV seria mais apropriado do que o desvio padrão?

Passo 1

O enunciado fornece dois conjuntos de dados e pede várias medidas de posição e dispersão e uma comparação entre eles. Vou listar o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas:
(a) Calcular a média e o desvio padrão para cada conjunto.
(b) Calcular o coeficiente de variação (CV) para ambos os conjuntos.
(c) Dizer qual conjunto tem maior variabilidade relativa e justificar por que o CV é mais adequado que o desvio padrão para essa comparação.
(d) Dar exemplos de situações práticas em que o uso do CV é mais apropriado do que o desvio padrão.
Dados fornecidos:
Conjunto A (alturas em centímetros): 198,\,202,\,195,\,200,\,197,\,203,\,199,\,201.
Conjunto B (salários em milhares de reais): 15,\,22,\,18,\,25,\,19,\,23,\,20,\,24.
Observação: ambos os conjuntos têm n=8 observações.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que vou usar (e por que). Sempre que eu usar uma fórmula, explico o que cada símbolo significa.
Média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde x_i são as observações do conjunto e n é o número total de observações. A média é o “centro” dos dados — a soma dos valores dividida pelo número de valores.
Desvio padrão amostral (uso s, fórmula com n-1 no denominador):
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2}
Aqui \bigl(x_i-\bar{x}\bigr) é o desvio de cada observação em relação à média, o quadrado elimina sinais e enfatiza desvios maiores, a soma agrega todos os desvios ao quadrado, e dividir por n-1 dá a estimativa amostral da variância (preferível quando trabalhamos com amostras). A raiz quadrada volta à unidade original dos dados.
Coeficiente de variação (CV):
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%
onde s é o desvio padrão e \bar{x} a média. O CV expressa a dispersão relativa em porcentagem; é adimensional (permite comparar variabilidades entre grandezas com unidades diferentes ou médias muito diferentes).
Explico por que escolhi o desvio padrão amostral: quando temos um conjunto finito de observações e queremos estimar a variabilidade da população a partir dessa amostra, usa-se n-1. Como os dois conjuntos têm o mesmo n, a comparação do CV não depende criticamente de escolher n ou n-1, mas a escolha com n-1 é a prática estatística padrão.

Passo 3

Cálculo da média do Conjunto A passo a passo.
Somando as observações de A:
198+202+195+200+197+203+199+201=1595
Número de observações: n=8.
A média:
\bar{x}_A=\frac{1595}{8}=199{,}375
Então a média das alturas é \bar{x}_A=199{,}375 centímetros.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão amostral s_A do Conjunto A com todos os passos.
Primeiro calcule os desvios (x_i-\bar{x}_A) e seus quadrados:
\begin{aligned} 198-199{,}375&=-1{,}375,&(-1{,}375)^2&=1{,}890625\\\\ 202-199{,}375&= 2{,}625,&(2{,}625)^2&=6{,}890625\\\\ 195-199{,}375&=-4{,}375,&(-4{,}375)^2&=19{,}140625\\\\ 200-199{,}375&= 0{,}625,&(0{,}625)^2&=0{,}390625\\\\ 197-199{,}375&=-2{,}375,&(-2{,}375)^2&=5{,}640625\\\\ 203-199{,}375&= 3{,}625,&(3{,}625)^2&=13{,}140625\\\\ 199-199{,}375&=-0{,}375,&(-0{,}375)^2&=0{,}140625\\\\ 201-199{,}375&= 1{,}625,&(1{,}625)^2&=2{,}640625 \end{aligned}
Somando os quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^8 (x_i-\bar{x}_A)^2 = 49{,}875
Variância amostral:
s_A^2=\frac{49{,}875}{n-1}=\frac{49{,}875}{7}=7{,}125
Desvio padrão:
s_A=\sqrt{7{,}125}\approx 2{,}669
Portanto o desvio padrão das alturas é aproximadamente s_A=2{,}669 centímetros.

Passo 5

Cálculo da média do Conjunto B passo a passo.
Somando as observações de B:
15+22+18+25+19+23+20+24=166
Número de observações: n=8.
A média:
\bar{x}_B=\frac{166}{8}=20{,}75
A média dos salários (em milhares de reais) é \bar{x}_B=20{,}75.

Passo 6

Cálculo do desvio padrão amostral s_B do Conjunto B com todos os passos.
Desvios (x_i-\bar{x}_B) e quadrados:
\begin{aligned} 15-20{,}75&=-5{,}75,&(-5{,}75)^2&=33{,}0625\\\\ 22-20{,}75&= 1{,}25,&(1{,}25)^2&=1{,}5625\\\\ 18-20{,}75&=-2{,}75,&(-2{,}75)^2&=7{,}5625\\\\ 25-20{,}75&= 4{,}25,&(4{,}25)^2&=18{,}0625\\\\ 19-20{,}75&=-1{,}75,&(-1{,}75)^2&=3{,}0625\\\\ 23-20{,}75&= 2{,}25,&(2{,}25)^2&=5{,}0625\\\\ 20-20{,}75&=-0{,}75,&(-0{,}75)^2&=0{,}5625\\\\ 24-20{,}75&= 3{,}25,&(3{,}25)^2&=10{,}5625 \end{aligned}
Somando os quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^8 (x_i-\bar{x}_B)^2 = 79{,}5
Variância amostral:
s_B^2=\frac{79{,}5}{n-1}=\frac{79{,}5}{7}\approx 11{,}357142857
Desvio padrão:
s_B=\sqrt{11{,}357142857}\approx 3{,}370
Portanto o desvio padrão dos salários é aproximadamente s_B=3{,}370 (em milhares de reais).

Passo 7

Cálculo do coeficiente de variação para cada conjunto.
Fórmula (repetindo):
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%
Para o Conjunto A:
\text{CV}_A=\frac{s_A}{\bar{x}_A}\times100\%=\frac{2{,}669}{199{,}375}\times100\%\approx 1{,}34\%
Para o Conjunto B:
\text{CV}_B=\frac{s_B}{\bar{x}_B}\times100\%=\frac{3{,}370}{20{,}75}\times100\%\approx 16{,}24\%
Interpretação numérica: o CV de 1{,}34\% para alturas indica que a dispersão típica é cerca de 1{,}34\% da média da altura; já um CV de 16{,}24\% para salários indica variabilidade muito maior em relação à média salarial.

Passo 8

Comparação entre os conjuntos e justificativa didática do uso do CV.
Observações numéricas:
  • Desvio padrão absoluto: s_A\approx 2{,}669 cm e s_B\approx 3{,}370 (milhares de R$). Sozinhos os desvios padrões não permitem comparação direta porque as unidades são diferentes (cm vs milhares de R$) e as médias são de ordens de grandeza distintas ( \bar{x}_A\approx199{,}375, \bar{x}_B=20{,}75).
  • Coeficientes de variação: \text{CV}_A\approx1{,}34\% e \text{CV}_B\approx16{,}24\%. Assim, em termos relativos o Conjunto B apresenta muito mais variabilidade: cerca de 16{,}24\% da média contra apenas 1{,}34\% no Conjunto A.
Por que o CV é mais adequado para comparar variabilidade relativa:
  • O desvio padrão tem unidade (cm, milhares de R$) e não é adimensional; não faz sentido comparar diretamente 2{,}669 cm com 3{,}370 milhares de R$.
  • O CV normaliza o desvio padrão pela média, produzindo uma medida adimensional (porcentagem) que permite comparar dispersões de variáveis com unidades diferentes ou médias muito distintas.
  • Exemplo rápido para fixar: se dois conjuntos têm o mesmo desvio padrão absoluto, aquele com média menor tem maior variação relativa — o CV captura isso automaticamente.
Observação prática importante: o CV só é apropriado quando a média for positiva e fizer sentido interpretar razões (ou seja, em escala de razão). Se a média estiver perto de zero ou for negativa, o CV pode ser enganoso ou indefinido.

Passo 9

Situações práticas em que o CV é mais apropriado que o desvio padrão (e quando não usar).
Quando usar o CV:
  • Comparar a variabilidade de duas medidas com unidades diferentes (ex.: altura em cm vs salário em R$).
  • Avaliar a variabilidade relativa de retornos de investimentos (risco relativo ao retorno esperado).
  • Comparar precisão de instrumentos de medida quando as médias são diferentes (ex.: erro padrão relativo em bioquímica, engenharia, controle de qualidade).
  • Em estudos de sensibilidade onde interessa a dispersão em relação ao nível médio.
Quando não usar o CV:
  • Quando a média for zero ou muito próxima de zero (o CV explode ou fica instável).
  • Para dados em escala intervalar sem sentido de razão (ex.: temperaturas em Celsius — a razão entre médias não é significativa).
  • Quando for necessário manter a unidade original para interpretação (o desvio padrão absoluto pode ser preferido em alguns contextos práticos).

Resposta

(a) Conjunto A: média \bar{x}_A=199{,}375 cm, desvio padrão s_A\approx 2{,}669 cm
(a) Conjunto B: média \bar{x}_B=20{,}75 (milhares de R$), desvio padrão s_B\approx 3{,}370 (milhares de R$)
(b) \text{CV}_A\approx 1{,}34\%
(b) \text{CV}_B\approx 16{,}24\%
(c) O Conjunto B apresenta maior variabilidade relativa ( \text{CV}_B\approx16{,}24\%>\text{CV}_A\approx1{,}34\%). O CV é mais adequado porque é adimensional (normaliza o desvio padrão pela média), permitindo comparar dispersões de grandezas com unidades e escalas diferentes.
(d) O CV é mais apropriado ao comparar variabilidade entre medidas com unidades diferentes (ex.: altura vs salário), ao comparar precisão relativa de instrumentos, ao avaliar risco relativo de investimentos, e em controle de qualidade; não é adequado quando a média é zero ou muito próxima de zero ou quando a escala não tem sentido de razão (ex.: temperatura em ºC).

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