Sabendo que a média e a variância das notas dos alunos de Cálculo da turma foram iguais a 4, qual é o Z-score de João se sua nota foi 8?

Passo 1

O enunciado pede o Z-score de João. As informações fornecidas são:
\bar{x}=4 (a média das notas é 4),
\sigma^{2}=4 (a variância das notas é 4),
e a nota de João é x=8.
A pergunta concreta: qual é o valor do Z-score de João?

Passo 2

O que é um Z-score? O Z-score (ou escore padronizado) mede quantos desvios-padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula geral é
Z=\frac{x-\bar{x}}{\sigma}
onde:
\;x\; é o valor que queremos padronizar (a nota do João),
\;\bar{x}\; é a média da população (ou amostra) — aqui \bar{x}=4,
\;\sigma\; é o desvio-padrão. Vou explicar como obter \sigma a seguir.

Passo 3

Relação entre variância e desvio-padrão: a variância \sigma^{2} é o quadrado do desvio-padrão \sigma. Ou seja,
\sigma^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad \sigma=\sqrt{4}.
Calculemos \sigma.

Passo 4

Cálculo do desvio-padrão:
\sigma=\sqrt{4}=2.
Portanto o desvio-padrão da distribuição das notas é \sigma=2.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do Z-score com os valores conhecidos. Primeiro calculamos a diferença entre a nota de João e a média:
x-\bar{x}=8-4=4.

Passo 6

Dividimos essa diferença pelo desvio-padrão:
Z=\frac{x-\bar{x}}{\sigma}=\frac{4}{2}=2.

Passo 7

Interpretação (útil para a prova): Z=2 significa que a nota de João está duas vezes o desvio-padrão acima da média — ou seja, ele está 2 desvios-padrão acima da média da turma. Se quiser, em uma prova essa é a resposta numérica que geralmente pedem; explicar o significado ajuda a garantir que entendeu o conceito.

Resposta

2

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