Sabendo que a média e a variância das notas dos alunos de Cálculo da turma foram iguais a 4, qual é o Z-score de João se sua nota foi 8?
Passo 1
O enunciado pede o Z-score de João. As informações fornecidas são:
(a média das notas é
),
(a variância das notas é
),
e a nota de João é .
A pergunta concreta: qual é o valor do Z-score de João?
e a nota de João é
A pergunta concreta: qual é o valor do Z-score de João?
Passo 2
O que é um Z-score? O Z-score (ou escore padronizado) mede quantos desvios-padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula geral é
onde:
é o valor que queremos padronizar (a nota do João),
é a média da população (ou amostra) — aqui
,
é o desvio-padrão. Vou explicar como obter
a seguir.
Passo 3
Relação entre variância e desvio-padrão: a variância
é o quadrado do desvio-padrão
. Ou seja,
Calculemos
.
Passo 4
Cálculo do desvio-padrão:
Portanto o desvio-padrão da distribuição das notas é
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do Z-score com os valores conhecidos. Primeiro calculamos a diferença entre a nota de João e a média:
Passo 6
Dividimos essa diferença pelo desvio-padrão:
Passo 7
Interpretação (útil para a prova):
significa que a nota de João está duas vezes o desvio-padrão acima da média — ou seja, ele está
desvios-padrão acima da média da turma. Se quiser, em uma prova essa é a resposta numérica que geralmente pedem; explicar o significado ajuda a garantir que entendeu o conceito.