Considerando que a definição da derivada de uma função
, em um ponto
, é dada por:
calcule a derivada,
, pela definição, a partir da função
e do ponto
dados abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada usando a definição básica. A gente tem a função
e quer encontrar a derivada dessa função no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivada que envolve limites. Precisamos entender como aplicar essa definição passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função
em um ponto
. A derivada é dada por:
Isso significa que a derivada é o limite da taxa de variação da função conforme
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função
e o ponto
na definição. Ficamos com:
Sabemos que
, então a expressão fica:
Passo 4
Para calcular esse limite, vamos simplificar a expressão. Uma técnica comum é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz. O conjugado de
é
. Então, multiplicamos:
Simplificando o numerador usando a identidade
:
Agora, podemos cancelar
no numerador e denominador:
Passo 5
Agora, basta calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de 4:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.