Considerando que a definição da derivada de uma função f, em um ponto x0, é dada por:
f^prime(x0)=lim x x0 f(x)-f(x0)x-x0
calcule a derivada, f^prime(x0), pela definição, a partir da função f e do ponto x0 dados abaixo:
f(x)=raizx, x0=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada usando a definição básica. A gente tem a função f(x) = raizx e quer encontrar a derivada dessa função no ponto x0 = 4 . Para isso, vamos usar a definição de derivada que envolve limites. Precisamos entender como aplicar essa definição passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função f em um ponto x0 . A derivada é dada por:
f^prime(x0)=lim x x0 f(x)-f(x0)x-x0
Isso significa que a derivada é o limite da taxa de variação da função conforme x se aproxima de x0 .

Passo 3

Agora, vamos substituir a função f(x) = raizx e o ponto x0 = 4 na definição. Ficamos com:
f^prime(4)=lim x 4 raizx-raiz4x-4
Sabemos que raiz4 = 2 , então a expressão fica:
f^prime(4)=lim x 4 raizx-2x-4

Passo 4

Para calcular esse limite, vamos simplificar a expressão. Uma técnica comum é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz. O conjugado de raizx - 2 é raizx + 2 . Então, multiplicamos:
raizx-2x-4 times raizx+2raizx+2 = (raizx-2)(raizx+2)(x-4)(raizx+2)
Simplificando o numerador usando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 :
x - 4(x - 4)(raizx + 2)
Agora, podemos cancelar x - 4 no numerador e denominador:
1raizx + 2

Passo 5

Agora, basta calcular o limite dessa expressão quando x se aproxima de 4:
f^prime(4) = lim x 4 1raizx + 2 = 1raiz4 + 2 = 12 + 2 = 14

Resposta

A derivada de f(x) = raizx no ponto x0 = 4 é f^prime(4) = 14 .

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