Considerando a distribuição de Boltzmann normalizada, i.e.,
mostre que
Justifique detalhadamente as suas respostas.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: temos uma distribuição de Boltzmann normalizada, ou seja, a integral de $ P(\varepsilon) $ de 0 até infinito é igual a 1. A tarefa é mostrar que o valor esperado de energia $ \langle \varepsilon \rangle $ é igual a $ kT $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a distribuição de Boltzmann, o conceito de valor esperado e como manipular integrais envolvendo funções de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ter uma distribuição de Boltzmann normalizada. A normalização garante que a soma (ou integral, no caso contínuo) das probabilidades seja igual a 1. Matematicamente, isso é representado por:
Isso nos assegura que $ P(\varepsilon) $ é uma função de probabilidade válida.
Passo 3
Agora, vamos pensar no valor esperado $ \langle \varepsilon \rangle $. Esse valor representa a média das energias possíveis ponderadas pelas suas probabilidades. A fórmula para o valor esperado é:
Nosso objetivo é mostrar que esse integral resulta em $ kT $, onde $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.
Passo 4
Para avançar, precisamos saber a forma explícita da distribuição de Boltzmann $ P(\varepsilon) $. A distribuição de Boltzmann para energia em um sistema clássico é dada por:
Essa expressão nos diz como a probabilidade de encontrar uma partícula com energia $ \varepsilon $ depende da temperatura $ T $.
Passo 5
Vamos substituir $ P(\varepsilon) $ na expressão do valor esperado:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
Para isso, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Seja $ x = \frac{\varepsilon}{kT} $, então $ \varepsilon = kT x $ e $ d\varepsilon = kT dx $.
Passo 7
Substituindo na integral:
A integral $ \int_{0}^{\infty} x e^{-x} dx $ é um resultado conhecido da matemática, igual a 1! (fatorial de 1).
Passo 8
Portanto, a integral se simplifica para:
Voltando à expressão do valor esperado:
Resposta
Assim, mostramos que o valor esperado da energia é $ \langle \varepsilon \rangle = kT $.