Considerando a distribuição de Boltzmann normalizada, i.e., integral0^infty P(varepsilon) d varepsilon=1 mostre que lang<=varepsilonrang<==integral0^infty varepsilon P(varepsilon) d varepsilon=k T Justifique detalhadamente as suas respostas.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: temos uma distribuição de Boltzmann normalizada, ou seja, a integral de $ P(\varepsilon) $ de 0 até infinito é igual a 1. A tarefa é mostrar que o valor esperado de energia $ \langle \varepsilon \rangle $ é igual a $ kT $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a distribuição de Boltzmann, o conceito de valor esperado e como manipular integrais envolvendo funções de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ter uma distribuição de Boltzmann normalizada. A normalização garante que a soma (ou integral, no caso contínuo) das probabilidades seja igual a 1. Matematicamente, isso é representado por:
integral0^infty P(varepsilon) dvarepsilon = 1
Isso nos assegura que $ P(\varepsilon) $ é uma função de probabilidade válida.

Passo 3

Agora, vamos pensar no valor esperado $ \langle \varepsilon \rangle $. Esse valor representa a média das energias possíveis ponderadas pelas suas probabilidades. A fórmula para o valor esperado é:
lang<= varepsilon rang<=
Nosso objetivo é mostrar que esse integral resulta em $ kT $, onde $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.

Passo 4

Para avançar, precisamos saber a forma explícita da distribuição de Boltzmann $ P(\varepsilon) $. A distribuição de Boltzmann para energia em um sistema clássico é dada por:
P(varepsilon)
Essa expressão nos diz como a probabilidade de encontrar uma partícula com energia $ \varepsilon $ depende da temperatura $ T $.

Passo 5

Vamos substituir $ P(\varepsilon) $ na expressão do valor esperado:
P(varepsilon)
Simplificando, temos:
lang<= varepsilon rang<= = integral0^infty varepsilon ( 1kT e^-varepsilonkT ) dvarepsilon

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral
integral0^infty varepsilon e^-varepsilonkT dvarepsilon
Para isso, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Seja $ x = \frac{\varepsilon}{kT} $, então $ \varepsilon = kT x $ e $ d\varepsilon = kT dx $.

Passo 7

Substituindo na integral:
integral0^infty kT x cdot e^-x cdot kT dx = (kT)^2 integral0^infty x e^-x dx
A integral $ \int_{0}^{\infty} x e^{-x} dx $ é um resultado conhecido da matemática, igual a 1! (fatorial de 1).

Passo 8

Portanto, a integral se simplifica para:
(kT)^2 cdot 1 = (kT)^2
Voltando à expressão do valor esperado:
lang<= varepsilon rang<= = 1kT cdot (kT)^2 = kT

Resposta

Assim, mostramos que o valor esperado da energia é $ \langle \varepsilon \rangle = kT $.

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