Duas ondas de equações
Se propagam em uma corda esticada. (a) Plote um gráfico da onda resultante em função do tempo
para
e
, onde
é o comprimento de onda. Os gráficos devem se estender desde
até pouco mais de um período. (b) A onda resultante é a superposição de uma onda estacionária e uma onda progressiva. Em que sentido se propaga a onda progressiva?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de superposição de ondas em uma corda esticada. Precisamos:
- Plotar o gráfico da onda resultante em função do tempo para diferentes posições de $ x $.
- Identificar em que direção a onda progressiva se propaga na superposição feita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das duas ondas que estão se propagando na corda:
Aqui, $ y_{1} $ é uma onda que se move em uma direção (digamos, para a direita) e $ y_{2} $ é uma onda que se move na direção oposta (para a esquerda). As ondas têm a mesma frequência e comprimento de onda.
Passo 3
Para encontrar a onda resultante $ y $, vamos somar as duas ondas:
Onde:
- $ k = 25,1, rad/m $ é o número de onda.
- $ \omega = 440, rad/s $ é a frequência angular.
- $ x $ é a posição na corda.
- $ t $ é o tempo.
Passo 4
Vamos usar a fórmula da soma de senos para simplificar $ y $:
Aplicando isso:
Fatorando:
Simplificando:
Passo 5
Essa forma mostra que a onda resultante é uma onda estacionária, composta por um termo que depende apenas de $ x $ e outro que depende apenas de $ t $.
Para plotar os gráficos, precisamos escolher os valores de $ x $ dados: $ x = 0 $, $ \lambda/8 $, $ \lambda/4 $, $ 3\lambda/8 $ e $ \lambda/2 $, onde $ \lambda $ é o comprimento de onda.
Primeiro, vamos encontrar $ \lambda $:
Então, os valores de $ x $ são:
- $ 0 $
- $ 0,25/8 = 0,03125, m $
- $ 0,25/4 = 0,0625, m $
- $ 3 \times 0,25/8 = 0,09375, m $
- $ 0,25/2 = 0,125, m $
Passo 6
Agora vamos calcular $ y $ para cada $ x $ em função de $ t $. Sabemos que:
Vamos calcular $ \sin(kx) $ para cada $ x $:
-
Para $ x = 0 $:Então, $ y = 0 $
-
Para $ x = 0,03125, m $:Então, $ y \approx 4,05 \times 0,836 \cdot \cos(440t) \approx 3,38, mm \cdot \cos(440t) $
-
Para $ x = 0,0625, m $:Então, $ y \approx 4,05 \times 1,0 \cdot \cos(440t) \approx 4,05, mm \cdot \cos(440t) $
-
Para $ x = 0,09375, m $:Então, $ y \approx 4,05 \times 0,707 \cdot \cos(440t) \approx 2,86, mm \cdot \cos(440t) $
-
Para $ x = 0,125, m $:Então, $ y \approx 0 $
Passo 7
Com esses valores, podemos plotar os gráficos de $ y $ versus $ t $ para cada posição de $ x $ de 0 até um pouco mais de um período. O período $ T $ da onda é:
Vamos considerar $ t $ de 0 a $ 0,015, s $ para abranger um pouco mais de um período.
Os gráficos serão ondas cossenoidais com amplitudes diferentes dependendo de $ x $.
Passo 8
Para a parte (b), a onda resultante $ y = 4,05, mm \cdot \sin(kx) \cdot \cos(\omega t) $ é a superposição de uma onda estacionária e uma onda progressiva.
A onda estacionária é formada pela interferência de duas ondas de mesma frequência e amplitude oposta, criando pontos fixos chamados de nós e ventres onde a amplitude oscila.
A onda progressiva na superposição está indo na direção oposta à das ondas individuais. Como $ y_{1} $ está indo para a direita e $ y_{2} $ para a esquerda, a onda progressiva resultante se propaga para a esquerda.
Resposta
(a) Os gráficos da onda resultante para $ x = 0 $, $ \lambda/8 $, $ \lambda/4 $, $ 3\lambda/8 $ e $ \lambda/2 $ mostram ondas cossenoidais com amplitudes de 0 mm, 3,38 mm, 4,05 mm, 2,86 mm e 0 mm, respectivamente, ao longo de um período ligeiramente maior que $ T \approx 0,0143 $ s.
(b) A onda progressiva na superposição se propaga para a esquerda.