Duas ondas de equações
Se propagam em uma corda esticada. (a) Plote um gráfico da onda resultante em função do tempo & y1=2,55 mm sin [(25,1 rad / m) x-(440 rad / s) t] & y2=1,50 mm sin [(25,1 rad / m) x+(440 rad / s) t] para t e x=0, lambda / 8, lambda / 4,3 lambda / 8, onde lambda / 2 é o comprimento de onda. Os gráficos devem se estender desde lambda até pouco mais de um período. (b) A onda resultante é a superposição de uma onda estacionária e uma onda progressiva. Em que sentido se propaga a onda progressiva?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de superposição de ondas em uma corda esticada. Precisamos:
  1. Plotar o gráfico da onda resultante em função do tempo para diferentes posições de $ x $.
  2. Identificar em que direção a onda progressiva se propaga na superposição feita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das duas ondas que estão se propagando na corda:
& y1 = 2,55, mm cdot sin[(25,1, rad/m) cdot x - (440, rad/s) cdot t] & y2 = 1,50, mm cdot sin[(25,1, rad/m) cdot x + (440, rad/s) cdot t]
Aqui, $ y_{1} $ é uma onda que se move em uma direção (digamos, para a direita) e $ y_{2} $ é uma onda que se move na direção oposta (para a esquerda). As ondas têm a mesma frequência e comprimento de onda.

Passo 3

Para encontrar a onda resultante $ y $, vamos somar as duas ondas:
y
Onde:
  • $ k = 25,1, rad/m $ é o número de onda.
  • $ \omega = 440, rad/s $ é a frequência angular.
  • $ x $ é a posição na corda.
  • $ t $ é o tempo.

Passo 4

Vamos usar a fórmula da soma de senos para simplificar $ y $:
y
Aplicando isso:
sin A + sin B = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)
Fatorando:
y = 2,55, mm cdot sin(kx - omega t) + 1,50, mm cdot sin(kx + omega t)
Simplificando:
y = (2,55 + 1,50), mm cdot sin(kx) cdot cos(omega t)

Passo 5

Essa forma mostra que a onda resultante é uma onda estacionária, composta por um termo que depende apenas de $ x $ e outro que depende apenas de $ t $.
Para plotar os gráficos, precisamos escolher os valores de $ x $ dados: $ x = 0 $, $ \lambda/8 $, $ \lambda/4 $, $ 3\lambda/8 $ e $ \lambda/2 $, onde $ \lambda $ é o comprimento de onda.
Primeiro, vamos encontrar $ \lambda $:
x
Então, os valores de $ x $ são:
  • $ 0 $
  • $ 0,25/8 = 0,03125, m $
  • $ 0,25/4 = 0,0625, m $
  • $ 3 \times 0,25/8 = 0,09375, m $
  • $ 0,25/2 = 0,125, m $

Passo 6

Agora vamos calcular $ y $ para cada $ x $ em função de $ t $. Sabemos que:
y
Vamos calcular $ \sin(kx) $ para cada $ x $:
  • Para $ x = 0 $:
    x
    Então, $ y = 0 $
  • Para $ x = 0,03125, m $:
    t
    Então, $ y \approx 4,05 \times 0,836 \cdot \cos(440t) \approx 3,38, mm \cdot \cos(440t) $
  • Para $ x = 0,0625, m $:
    y = 4,05, mm cdot sin(kx) cdot cos(omega t)
    Então, $ y \approx 4,05 \times 1,0 \cdot \cos(440t) \approx 4,05, mm \cdot \cos(440t) $
  • Para $ x = 0,09375, m $:
    sin(kx)
    Então, $ y \approx 4,05 \times 0,707 \cdot \cos(440t) \approx 2,86, mm \cdot \cos(440t) $
  • Para $ x = 0,125, m $:
    x
    Então, $ y \approx 0 $

Passo 7

Com esses valores, podemos plotar os gráficos de $ y $ versus $ t $ para cada posição de $ x $ de 0 até um pouco mais de um período. O período $ T $ da onda é:
y
Vamos considerar $ t $ de 0 a $ 0,015, s $ para abranger um pouco mais de um período.
Os gráficos serão ondas cossenoidais com amplitudes diferentes dependendo de $ x $.

Passo 8

Para a parte (b), a onda resultante $ y = 4,05, mm \cdot \sin(kx) \cdot \cos(\omega t) $ é a superposição de uma onda estacionária e uma onda progressiva.
A onda estacionária é formada pela interferência de duas ondas de mesma frequência e amplitude oposta, criando pontos fixos chamados de nós e ventres onde a amplitude oscila.
A onda progressiva na superposição está indo na direção oposta à das ondas individuais. Como $ y_{1} $ está indo para a direita e $ y_{2} $ para a esquerda, a onda progressiva resultante se propaga para a esquerda.

Resposta

(a) Os gráficos da onda resultante para $ x = 0 $, $ \lambda/8 $, $ \lambda/4 $, $ 3\lambda/8 $ e $ \lambda/2 $ mostram ondas cossenoidais com amplitudes de 0 mm, 3,38 mm, 4,05 mm, 2,86 mm e 0 mm, respectivamente, ao longo de um período ligeiramente maior que $ T \approx 0,0143 $ s.
(b) A onda progressiva na superposição se propaga para a esquerda.

Exercícios relacionados