Considere a possibilidade da propagação de ondas eletromagnéticas no interior de uma cavidade cúbica de aresta de comprimento igual a
, de paredes metálicas perfeitamente refletoras, no interior da qual se fez vácuo.
Determine os valores dos comprimentos de onda e das freqüências de oscilação permitidas no interior da cavidade ressonante cúbica. Justifique detalhadamente as suas respostas.
Determine os valores dos comprimentos de onda e das freqüências de oscilação permitidas no interior da cavidade ressonante cúbica. Justifique detalhadamente as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma cavidade cúbica com lados de comprimento $ L $, paredes metálicas que refletem totalmente as ondas eletromagnéticas, e o interior está no vácuo. O que precisamos descobrir são os comprimentos de onda e as frequências das ondas que podem “viver” dentro dessa cavidade. Para isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cavidades ressonantes e a relação entre comprimento de onda, frequência e velocidade da luz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que as paredes metálicas perfeitamente refletoras fazem com que as ondas eletromagnéticas se reflitam sem perder energia. Isso cria condições para a formação de ondas estacionárias dentro da cavidade. Ondas estacionárias são aquelas que parecem não se mover, com pontos fixos chamados nós e antínodos.
Passo 3
Como a cavidade é cúbica, as ondas podem se propagar em três direções ortogonais: $ x $, $ y $ e $ z $. Para cada direção, as condições de contorno (reflexão perfeita) exigem que o número de meias ondas completas seja um número inteiro. Isso significa que as dimensões da cavidade impõem restrições sobre os comprimentos de onda permitidos.
Passo 4
Matematicamente, para cada direção $ i $ (que pode ser $ x $, $ y $ ou $ z $), o comprimento de onda $ \lambda_i $ deve satisfazer:
Onde $ n_i $ é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …). Como a cavidade é cúbica, as condições são as mesmas para todas as direções, então podemos simplificar para:
Onde $ n $ é o mesmo para todas as direções.
Passo 5
Agora, para encontrar as frequências permitidas, usamos a relação entre velocidade da luz $ c $, frequência $ f $ e comprimento de onda $ \lambda $:
Rearranjando para $ f $:
Substituindo $ \lambda = \frac{2L}{n} $:
Resposta
Os comprimentos de onda permitidos na cavidade cúbica são dados por:
E as frequências de oscilação permitidas são:
Onde $ n $ é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …) e $ c $ é a velocidade da luz no vácuo.