Duas ondas se sobrepõem em uma corda. As ondas se movem no mesmo sentido, tem a mesma frequência f=2,1 Hz e o mesmo comprimento de onda lambda=1,6 m. As amplitudes das ondas são 3,1 m e 5,2 m e a diferença de fase entre elas é 2,7 rad (considere que a onda com amplitude 5,2 m está adiantada). Qual é a constante de fase da onda resultante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas ondas que se sobrepõem em uma corda. Ambas estão se movendo na mesma direção, têm a mesma frequência f=2,1 Hz e o mesmo comprimento de onda lambda=1,6 m. As amplitudes são 3,1 m e 5,2 m, e a diferença de fase entre elas é 2,7 rad (com a onda de 5,2 m adiantada). Nosso objetivo aqui é encontrar a constante de fase da onda resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando duas ondas com a mesma frequência e comprimento de onda se sobrepõem, a onda resultante também terá a mesma frequência e comprimento de onda. O que muda é a amplitude e a fase. Para encontrar a amplitude e a fase da onda resultante, usamos a fórmula da soma de duas ondas:
y = A1 sin(omega t + phi1) + A2 sin(omega t + phi2)
Onde:
  • A1 e A2 são as amplitudes das ondas.
  • omega é a frequência angular.
  • phi1 e phi2 são as constantes de fase das ondas.

Passo 3

Vamos calcular a frequência angular omega. Sabemos que:
omega = 2pi f
Substituindo os valores:
omega = 2pi times 2,1 approx 13,19 rad/s

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a constante de fase da onda resultante, que chamaremos de phi. Para isso, utilizamos as fórmulas de soma de fases:
R = raizA1^2 + A2^2 + 2A1A2cos(De
e
tan(phi) = A2 sin(De
Onde De.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a amplitude resultante R:
R = raiz3,1^2 + 5,2^2 + 2 times 3,1 times 5,2 times cos(2,7)
Calculando passo a passo:
  • 3,1^2 = 9,61
  • 5,2^2 = 27,04
  • 2 times 3,1 times 5,2 = 32,16
  • cos(2,7) approx -0,904
Então:
R = raiz9,61 + 27,04 + 32,16 times (-0,904)
R = raiz9,61 + 27,04 - 29,08
R = raiz7,57 approx 2,75 m

Passo 6

Agora, vamos encontrar a constante de fase phi da onda resultante:
tan(phi) = 5,2 times sin(2,7)3,1 + 5,2 times cos(2,7)
Calculando:
  • sin(2,7) approx 0,427
  • cos(2,7) approx -0,904
Substituindo:
tan(phi) = 5,2 times 0,4273,1 + 5,2 times (-0,904)
tan(phi) = 2,22043,1 - 4,7008
tan(phi) = 2,2204-1,6008 approx -1,387

Passo 7

Agora, para encontrar phi, usamos a função arco-tangente:
phi = arctan(-1,387) approx -0,952 rad
Como a fase não pode ser negativa no contexto das ondas, ajustamos adicionando 2pi para obter um ângulo positivo:
phi = -0,952 + 2pi approx 5,331 rad

Resposta

A constante de fase da onda resultante é aproximadamente 5,33 rad.

Exercícios relacionados