Considerando a energia interna u, como função de T e v, mostre que:
Mostre que para um processo adiabático c_{v}\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_{s}=-\left[\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T}+p\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em um processo adiabático, a relação
c_{v}\Bigl(\frac{\partial T}{\partial v}\Bigr)_{s} = -\Bigl[\Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T} + p\Bigr].
Aqui u é a energia interna como função de T e v, s é a entropia, p a pressão e c_{v} a capacidade térmica a volume constante. Vamos usar o primeiro princípio da termodinâmica e a forma diferencial de u(T,v).

Passo 2

O primeiro princípio da termodinâmica, para um sistema fechado, em forma diferencial é
du = T\,ds \;-\; p\,dv,
onde T é a temperatura, s a entropia e p a pressão.

Passo 3

Como u depende de T e v, seu diferencial total é
du = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial T}\Bigr)_{v}\,dT \;+\; \Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T}\,dv.

Passo 4

Igualando as duas expressões de du, obtemos
\Bigl(\frac{\partial u}{\partial T}\Bigr)_{v}dT + \Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T}dv = T\,ds - p\,dv.

Passo 5

Em processo adiabático temos ds=0, logo
\Bigl(\frac{\partial u}{\partial T}\Bigr)_{v}dT + \Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T}dv = -\,p\,dv.
Reordenando para isolar dT,
\Bigl(\frac{\partial u}{\partial T}\Bigr)_{v}dT = -\Bigl[\Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T} + p\Bigr]dv \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{\partial T}{\partial v}\Bigr)_{s} = -\,\frac{\Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T} + p} {\Bigl(\frac{\partial u}{\partial T}\Bigr)_{v}}.

Passo 6

Pela definição de capacidade térmica a volume constante,
c_{v} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial T}\Bigr)_{v},
multiplicando ambos os lados da expressão anterior por c_{v} resulta em
c_{v}\Bigl(\frac{\partial T}{\partial v}\Bigr)_{s} = -\Bigl[\Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T} + p\Bigr].

Resposta

c_{v}\Bigl(\frac{\partial T}{\partial v}\Bigr)_{s} = -\Bigl[\Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T} + p\Bigr].

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