Considerando que a entropia de um fluido puro seja função da energia interna U, do volume V e do número de partículas N, ou seja, S=S(U, \mathrm{~V}, \mathrm{~N}), mostre que
\begin{aligned} & \left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V, N}=\frac{1}{T} \\\ & \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U, N}=\frac{p}{T} \\\ & \left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U, V}=-\frac{\mu}{T} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado diz que a entropia S de um fluido puro é função de U, V e N:
S = S(U,V,N).
Queremos mostrar que, a partir da relação fundamental da termodinâmica (primeira lei em processos reversíveis), as derivadas parciais são
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\frac{1}{T},\quad \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}=\frac{p}{T},\quad \left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}=-\frac{\mu}{T}.
Para isso, vamos usar a forma diferencial da primeira lei e a definição de processos reversíveis.

Passo 2

Escrevemos o diferencial total de S(U,V,N):
dS =\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}dU +\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}dV +\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}dN.

Passo 3

Em um processo reversível a primeira lei diz
dU = \delta Q + \delta W + \mu\,dN,
onde \delta Q = T\,dS e \delta W = -p\,dV. Logo
dU = T\,dS - p\,dV + \mu\,dN.
Isolando dS:
dS = \frac{1}{T}\,dU + \frac{p}{T}\,dV - \frac{\mu}{T}\,dN.

Passo 4

Basta comparar este dS com o diferencial total do Passo 2. Igualando coeficientes de dU, dV e dN obtemos
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\frac{1}{T},\quad \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}=\frac{p}{T},\quad \left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}=-\frac{\mu}{T}.

Resposta

\displaystyle\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\frac{1}{T} \displaystyle\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}=\frac{p}{T} \displaystyle\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}=-\frac{\mu}{T}

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