Considerando a energia interna u, como função de T e v, mostre que:
Mostre que para um processo isotérmico d^{\prime} q=\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} d v+p d v. O que significa tal resultado?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a energia interna u como função de temperatura T e volume específico v, ou seja
u = u(T,v).
Queremos mostrar que, num processo isotérmico dT=0, o calor trocado satisfaz
d^{\prime}q = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T}\,dv + p\,dv.
Vamos usar a primeira lei da termodinâmica e a diferencial total de u.

Passo 2

A primeira lei da termodinâmica para trabalho de expansão reversível é
d u = d^{\prime}q - p\,dv.
Por outro lado, como u depende de T e v, sua diferencial total é
du = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial T}\Bigr)_{v}\,dT \;+\;\Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T}\,dv.

Passo 3

No processo isotérmico temos dT=0. Substituindo em du e na primeira lei:
du = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T}\,dv,
\Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T}\,dv = d^{\prime}q - p\,dv.
Reorganizando para d^{\prime}q obtém-se
d^{\prime}q = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T}\,dv + p\,dv.

Passo 4

Interpretação: esse resultado mostra que, mesmo em temperatura constante, parte do calor trocado não vai só para o trabalho p\,dv, mas também para a variação de energia interna associada à dependência de u em v. No gás ideal tem-se \bigl(\tfrac{\partial u}{\partial v}\bigr)_{T}=0 e então
d^{\prime}q = p\,dv,
isto é, todo calor entra na forma de trabalho de expansão. Em gases reais, \bigl(\tfrac{\partial u}{\partial v}\bigr)_{T}\neq0 reflete as interações moleculares.

Resposta

d^{\prime}q = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{T}\,dv + p\,dv.
Esse resultado significa que, num processo isotérmico, o calor fornecido ao sistema é dividido em duas parcelas:
(1) a energia necessária para alterar a energia interna devido à variação de volume a temperatura constante e
(2) o trabalho de expansão p\,dv.

Exercícios relacionados