Considerando a equação diferencial
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+3 y=0
Pede-se:
Mostre que y=c1 x^3+c2 x é solução da equação dada.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a combinação linear das funções potenciais de um EDO de Euler–Cauchy satisfaz a equação dada. A equação diferencial é

Passo 2

Para testar a função base y₁(x)=x³, calculamos suas derivadas

Passo 3

Para testar a função base y₂(x)=x, calculamos suas derivadas

Passo 4

Como a equação é linear e homogênea, qualquer combinação linear de y₁ e y₂ também é solução

Resposta

Verificamos que tanto y₁(x)=x³ quanto y₂(x)=x satisfazem x²y’’–3xy’+3y=0 e, por linearidade, y=c₁x³+c₂x é solução geral.

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