Sejam g(x):=x^2-1 e f(x):=raizx-2.
Determine D(f circ g) em notação de intervalo.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função composta $ f \circ g $, onde $ g(x) = x^{2} - 1 $ e $ f(x) = \sqrt{x - 2} $. Estamos trabalhando com funções compostas e domínio de funções, utilizando conceitos de álgebra básica e análise de funções. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar o domínio de cada função individualmente e, em seguida, combinar essas informações para encontrar o domínio da função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função $ g(x) = x^{2} - 1 $. Como $ g(x) $ é um polinômio, sabemos que polinômios são definidos para todos os números reais. Ou seja, o domínio de $ g $ é:
g(x) = x^2 - 1

Passo 3

Agora, vamos analisar a função $ f(x) = \sqrt{x - 2} $. Para a função de raiz quadrada estar definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, estabelecemos a seguinte condição:
f(x) = raizx - 2
Resolvendo essa desigualdade:
x - 2 >= 0
Portanto, o domínio de $ f $ é:
x >= 2

Passo 4

Queremos encontrar o domínio da função composta $ f \circ g $, que significa $ f(g(x)) $. Para isso, $ g(x) $ precisa estar dentro do domínio de $ f $. Ou seja, precisamos que:
f circ g
Substituindo $ g(x) $ por $ x^{2} - 1 $:
f(g(x))

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade $ x^{2} - 1 \geq 2 $:
x^2 - 1 >= 2
Para resolver $ x^{2} \geq 3 $, pensamos nos valores de $ x $ que tornam a expressão verdadeira. Sabemos que:
x^2 - 1 >= 2 x^2 >= 3

Passo 6

Portanto, o domínio da função composta $ f \circ g $ é todos os números reais $ x $ que satisfazem $ x \leq -\sqrt{3} $ ou $ x \geq \sqrt{3} $. Em notação de intervalo, isso é representado como:
f circ g

Resposta

O domínio da função composta $ f \circ g $ é $ D(f \circ g) = (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty) $.

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