Sejam
e
.
Determine
em notação de intervalo.
Determine
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar o domínio da função composta $ g \circ f $, onde $ g(x) = x^{2} - 1 $ e $ f(x) = \sqrt{x - 2} $. Estamos trabalhando com funções e seus domínios, ou seja, os conjuntos de valores que podem ser inseridos nas funções sem causar problemas matemáticos, como raízes de números negativos ou divisões por zero. Para isso, precisamos entender como funcionam as funções compostas e os domínios delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio da função composta $ g \circ f $ consiste em todos os valores de $ x $ para os quais $ f(x) $ está definido e o resultado de $ f(x) $ está dentro do domínio de $ g $. Em outras palavras, precisamos que $ f(x) $ seja válido e que $ g(f(x)) $ também seja válido.
Passo 3
Vamos começar encontrando o domínio de $ f(x) = \sqrt{x - 2} $. Para que uma raiz quadrada esteja definida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Portanto, devemos resolver a inequação:
Resolvendo, temos:
Então, o domínio de $ f $ é $ [2, +\infty) $.
Passo 4
Agora, vamos analisar a função $ g(x) = x^{2} - 1 $. Como se trata de um polinômio, ela está definida para todos os números reais. Ou seja, o domínio de $ g $ é $ (-\infty, +\infty) $.
Passo 5
Como o domínio de $ g $ é todo o conjunto dos números reais, não há restrições adicionais quando compomos as funções. Portanto, o domínio da função composta $ g \circ f $ será o mesmo que o domínio de $ f $, já que $ f(x) $ sempre estará dentro do domínio de $ g $.
Resposta
O domínio de $ g \circ f $ é $ [2, +\infty) $.