Considerando um escoamento permanente, laminar, totalmente desenvolvido, no interior de um duto horizontal de seção circular considerando o raio interno
de um fluido não-newtoniano e incompressível. Determine a distribuição (perfil) de velocidade de escoamento em uma seção, considerando um gradiente de pressão constante ao longo do escoamento e que a reologia do sistema é dada pela equação abaixo:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Geometria e condições do escoamento:
- Duto cilíndrico horizontal de raio interno
. - Escoamento permanente, laminar, totalmente desenvolvido (variáveis só em
na seção). - Gradiente de pressão constante ao longo do eixo:
é constante. - Fluido incompressível e não-newtoniano com a reologia fornecida.
- Duto cilíndrico horizontal de raio interno
- Reologia dada (peguei do enunciado):
onde: -
é a componente de tensão de cisalhamento , -
é a velocidade axial (função do raio ), -
é a constante de consistência, - o expoente
significa .
-
- Condições de contorno que usaremos:
- Condição de simetria no centro: derivada de velocidade nula em
(não há singularidade). - Não deslizamento na parede:
.
- Condição de simetria no centro: derivada de velocidade nula em
O que o enunciado pede:
- Determinar a distribuição do perfil de velocidade
na seção transversal em função de , , e .
Passo 2
Equilíbrio de forças e expressão da tensão de cisalhamento em função de
.
Explicação física curta e derivação (a ideia é equilibrar forças axiais num cilindro coaxial de raio
):
- Considere um elemento cilíndrico coaxial de raio
e comprimento . As forças axiais resultantes por pressão e tensão de cisalhamento equilibram-se. - A equação diferencial resultante, conhecida para escoamento totalmente desenvolvido em coordenadas cilíndricas, é
(Aqui é a tensão de cisalhamento dependente de e é constante.) - Integramos essa equação em
. Como não há singularidade em , a constante de integração é zero, obtendo-se - Portanto
Para simplificar a notação, defina
que é positivo quando a pressão decresce no sentido do escoamento (caso usual). Assim
Passo 3
Relacionar a tensão
com o gradiente de velocidade usando a reologia dada e tratar o sinal.
- A reologia dada é
Comentário sobre o sinal: em escoamento em tubo a velocidade máxima está no centro e decresce para a parede, logo . Assim e a potência fracionária é bem definida. - Como
, podemos escrever Então - Substituindo
obtemos
Aqui explique rapidamente: isso relaciona o gradiente de velocidade com
, ou seja, a variação da velocidade radial é proporcional a
(com sinal negativo).
Passo 4
Integrar o gradiente para obter
, aplicando as condições de contorno.
-
Integramos a expressão para
: Integramos deaté : -
Calcule a integral:Assim
-
Agora imponha a condição de não deslizamento na parede:
. Isso dá portanto -
Substituindo
na expressão geral: -
Relembrando
, escrevemos a solução em termos do gradiente de pressão:
Pequena interpretação: o perfil tem dependência cúbica em
(difere do perfil parabólico dos fluidos newtonianos); é máximo no centro
e nulo na parede
.
Passo 5
Breve verificação de consistência e comentários práticos (para te deixar confiante).
- A expressão é positiva para
(caso usual), porque está elevada ao quadrado. - Em
a velocidade central é - A derivada em
é nula (simetria) e em a velocidade é zero, como exigido. - Se quiser calcular vazão volumétrica
depois, integra-se usando esta .
Força extra de ânimo: você já tem a expressão do perfil; com ela dá para calcular vazão, perdas e comparar com o caso newtoniano. Vai dar tudo certo!