Considerando um escoamento permanente, laminar, totalmente desenvolvido, no interior de um duto horizontal de seção circular considerando o raio interno R de um fluido não-newtoniano e incompressível. Determine a distribuição (perfil) de velocidade de escoamento em uma seção, considerando um gradiente de pressão constante ao longo do escoamento e que a reologia do sistema é dada pela equação abaixo:
\tau=K\left(-\frac{d v_{z}}{d r}\right)^{0,5}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Geometria e condições do escoamento:
    • Duto cilíndrico horizontal de raio interno R.
    • Escoamento permanente, laminar, totalmente desenvolvido (variáveis só em r na seção).
    • Gradiente de pressão constante ao longo do eixo: \dfrac{dp}{dz} é constante.
    • Fluido incompressível e não-newtoniano com a reologia fornecida.
  • Reologia dada (peguei do enunciado): \tau = K\left(-\frac{d v_{z}}{d r}\right)^{0,5},onde:
    • \tau é a componente de tensão de cisalhamento \tau_{rz},
    • v_z(r) é a velocidade axial (função do raio r),
    • K é a constante de consistência,
    • o expoente 0,5 significa \tfrac{1}{2}.
  • Condições de contorno que usaremos:
    • Condição de simetria no centro: derivada de velocidade nula em r=0 (não há singularidade).
    • Não deslizamento na parede: v_z(R)=0.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a distribuição do perfil de velocidade v_z(r) na seção transversal em função de r, R, \dfrac{dp}{dz} e K.

Passo 2

Equilíbrio de forças e expressão da tensão de cisalhamento em função de r.
Explicação física curta e derivação (a ideia é equilibrar forças axiais num cilindro coaxial de raio r):
  • Considere um elemento cilíndrico coaxial de raio r e comprimento dz. As forças axiais resultantes por pressão e tensão de cisalhamento equilibram-se.
  • A equação diferencial resultante, conhecida para escoamento totalmente desenvolvido em coordenadas cilíndricas, é \frac{d}{dr}\!\big(r\,\tau_{rz}\big) = -r\frac{dp}{dz}.(Aqui \tau_{rz} é a tensão de cisalhamento dependente de r e \dfrac{dp}{dz} é constante.)
  • Integramos essa equação em r. Como não há singularidade em r=0, a constante de integração é zero, obtendo-se r\,\tau_{rz}(r) = -\frac{r^{2}}{2}\frac{dp}{dz}.
  • Portanto \tau_{rz}(r) = -\frac{r}{2}\frac{dp}{dz}.
Para simplificar a notação, defina
G \equiv -\frac{dp}{dz},
que é positivo quando a pressão decresce no sentido do escoamento (caso usual). Assim
\tau_{rz}(r) = \frac{G\,r}{2}.

Passo 3

Relacionar a tensão \tau_{rz} com o gradiente de velocidade usando a reologia dada e tratar o sinal.
  • A reologia dada é \tau_{rz} = K\left(-\frac{dv_z}{dr}\right)^{0,5}.Comentário sobre o sinal: em escoamento em tubo a velocidade máxima está no centro e decresce para a parede, logo \dfrac{dv_z}{dr}\le 0. Assim -\dfrac{dv_z}{dr}\ge0 e a potência fracionária é bem definida.
  • Como \,0,5=\tfrac{1}{2}\,, podemos escrever -\frac{dv_z}{dr} = \left(\frac{\tau_{rz}}{K}\right)^{1/0{,}5} = \left(\frac{\tau_{rz}}{K}\right)^{2}.Então \frac{dv_z}{dr} = -\left(\frac{\tau_{rz}}{K}\right)^{2}.
  • Substituindo \tau_{rz}(r)=\dfrac{G\,r}{2} obtemos \frac{dv_z}{dr} = -\left(\frac{G\,r}{2K}\right)^{2} = -\frac{G^{2}}{4K^{2}}\,r^{2}.
Aqui explique rapidamente: isso relaciona o gradiente de velocidade com r^{2}, ou seja, a variação da velocidade radial é proporcional a r^{2} (com sinal negativo).

Passo 4

Integrar o gradiente para obter v_z(r), aplicando as condições de contorno.
  • Integramos a expressão para \dfrac{dv_z}{dr}:
    \frac{dv_z}{dr} = -\frac{G^{2}}{4K^{2}}\,r^{2}.
    Integramos de 0 até r:
    v_z(r)-v_z(0) = -\frac{G^{2}}{4K^{2}}\int_{0}^{r} s^{2}\,ds.
  • Calcule a integral:
    \int_{0}^{r} s^{2}\,ds = \frac{r^{3}}{3}.
    Assim
    v_z(r) = v_z(0) - \frac{G^{2}}{4K^{2}}\cdot\frac{r^{3}}{3} = v_z(0) - \frac{G^{2}}{12K^{2}}\,r^{3}.
  • Agora imponha a condição de não deslizamento na parede: v_z(R)=0. Isso dá
    0 = v_z(0) - \frac{G^{2}}{12K^{2}}\,R^{3},
    portanto
    v_z(0) = \frac{G^{2}}{12K^{2}}\,R^{3}.
  • Substituindo v_z(0) na expressão geral:
    v_z(r) = \frac{G^{2}}{12K^{2}}\left(R^{3}-r^{3}\right).
  • Relembrando G = -\dfrac{dp}{dz}, escrevemos a solução em termos do gradiente de pressão:
    v_z(r) = \frac{\left(-\dfrac{dp}{dz}\right)^{2}}{12\,K^{2}}\left(R^{3}-r^{3}\right).
Pequena interpretação: o perfil tem dependência cúbica em r (difere do perfil parabólico dos fluidos newtonianos); é máximo no centro r=0 e nulo na parede r=R.

Passo 5

Breve verificação de consistência e comentários práticos (para te deixar confiante).
  • A expressão é positiva para -\dfrac{dp}{dz}>0 (caso usual), porque está elevada ao quadrado.
  • Em r=0 a velocidade central é v_z(0)=\frac{\left(-\dfrac{dp}{dz}\right)^{2}}{12K^{2}}R^{3}.
  • A derivada em r=0 é nula (simetria) e em r=R a velocidade é zero, como exigido.
  • Se quiser calcular vazão volumétrica Q depois, integra-se 2\pi\int_{0}^{R} v_z(r)\,r\,dr usando esta v_z(r).
Força extra de ânimo: você já tem a expressão do perfil; com ela dá para calcular vazão, perdas e comparar com o caso newtoniano. Vai dar tudo certo!

Resposta

v_z(r)=\frac{\left(-\dfrac{dp}{dz}\right)^{2}}{12\,K^{2}}\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr)

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