Questão 1 Um líquido escoa num plano inclinado com escoamento laminar, em regime permanente, desenvolvido a uma certa distância do reservatório. Supondo escoamento bidimensional e desprezando o atrito com o ar, determinar:
a) O perfil de velocidade. [4 pontos]
b) A tensão no plano inclinado (tensão na parede). [1 pontos]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para um líquido escoando num plano inclinado, em escoamento laminar, permanente, bidimensional e desenvolvido (desprezando atrito com o ar):
  • (a) determinar o perfil de velocidade u(y) (velocidade ao longo do plano, função da coordenada normal y);
  • (b) determinar a tensão no plano inclinado (tensão de cisalhamento na parede, \tau_w).
Informações e condições dadas/assumidas (retiradas do enunciado):
  • Escoamento laminar, permanente e desenvolvido (ou seja, sem variação de perfil na direção x do escoamento).
  • Bidimensional: as variáveis dependem somente de x e y, mas por desenvolvimento teremos dependência apenas de y.
  • Força que impulsiona o escoamento: componente da gravidade ao longo do plano, \rho g \sin\alpha, sendo \alpha a inclinação do plano.
  • Despreza-se o atrito com o ar; portanto, na superfície livre a condição de cisalhamento será de tensão nula.
  • Condições de contorno usuais: no plano (parede) existe não deslizamento (no-slip), logo u(0)=0; na superfície livre, \tau_{xy}(y=h)=0 (tensão de cisalhamento nula).
  • Objetos a determinar: u(y) para 0\le y\le h e \tau_w=\tau_{xy}(0).

Passo 2

Escolha coordenadas e escreva hipóteses matemáticas:
  • Eixo x: direção descendente ao longo do plano inclinado.
  • Eixo y: normal ao plano, com y=0 na parede e y=h na superfície livre do filme.
  • Escoamento desenvolvido e permanente implica que u=u(y) (não depende de x nem de t), e a componente normal v é desprezível para o perfil (só há variação em y).
  • Fluido newtoniano com viscosidade dinâmica \mu e densidade \rho.
    Essas hipóteses permitem simplificar as equações de Navier–Stokes para a direção x.

Passo 3

Escrevendo a equação de momento na direção x e simplificando:
A equação de Navier–Stokes na direção x para escoamento incompressível, permanente e unidirecional é, em forma reduzida:
0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}y^2} + \rho g\sin\alpha.
Agora, justificar que \partial p/\partial x=0: a superfície livre está à pressão atmosférica e não há variação de pressão ao longo do filme na direção x (assumimos filme fino e ausência de gradiente de pressão externo). Portanto:
\mu\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}y^2} + \rho g\sin\alpha = 0.
Reescrevendo:
\mu\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}y^2} = -\rho g\sin\alpha.
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com lado direito constante.

Passo 4

Integração da equação diferencial e introdução das constantes de integração:
Integramos uma vez:
\mu\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = -\rho g\sin\alpha\, y + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Integramos novamente:
\mu u(y) = -\frac{\rho g\sin\alpha}{2}\, y^2 + C_1 y + C_2,
ou, isolando u(y),
u(y) = -\frac{\rho g\sin\alpha}{2\mu}\, y^2 + \frac{C_1}{\mu}\, y + \frac{C_2}{\mu}.
Agora aplicamos as condições de contorno para determinar C_1 e C_2.

Passo 5

Aplicar condição de não deslizamento na parede ( y=0):
A condição de não deslizamento impõe u(0)=0. Substituindo:
u(0)= -0 + 0 + \frac{C_2}{\mu} = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 0.

Passo 6

Aplicar condição de superfície livre (cisalhamento nulo em y=h):
A tensão de cisalhamento é \tau_{xy}=\mu \, \mathrm{d}u/\mathrm{d}y. Na superfície livre, desprezando atrito do ar, a condição é \tau_{xy}(h)=0, ou seja \mathrm{d}u/\mathrm{d}y\big|_{y=h}=0. Usando a expressão de \mathrm{d}u/\mathrm{d}y obtida na integração:
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = -\frac{\rho g\sin\alpha}{\mu}\, y + \frac{C_1}{\mu}.
Impondo \mathrm{d}u/\mathrm{d}y\big|_{y=h}=0:
0 = -\frac{\rho g\sin\alpha}{\mu}\, h + \frac{C_1}{\mu} \quad\Rightarrow\quad C_1 = \rho g\sin\alpha\, h.

Passo 7

Substituir constantes e escrever o perfil final de velocidade:
Substituindo C_1 e C_2 em u(y):
u(y) = -\frac{\rho g\sin\alpha}{2\mu}\, y^2 + \frac{\rho g\sin\alpha\, h}{\mu}\, y.
Colocando em forma fatorada e mais compacta:
u(y) = \frac{\rho g\sin\alpha}{2\mu}\,\bigl(2hy - y^2\bigr).
Essa é a distribuição parabólica clássica (solução de Nusselt para filme fino sobre plano inclinado). Observações úteis:
  • Em y=0 temos u(0)=0 (não deslizamento).
  • Em y=h o gradiente é nulo: \mathrm{d}u/\mathrm{d}y|_{y=h}=0.
  • Velocidade máxima ocorre na superfície y=h, com
u(h)=\frac{\rho g\sin\alpha}{2\mu}\,h^2.

Passo 8

Cálculo da tensão na parede \tau_w:
A tensão de cisalhamento na parede é
\tau_w = \tau_{xy}(0) = \mu\left.\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\right|_{y=0}.
Da expressão de \mathrm{d}u/\mathrm{d}y (usar a forma com constantes substituídas):
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = \frac{\rho g\sin\alpha}{\mu}\,(h - y).
Logo, em y=0:
\left.\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\right|_{y=0} = \frac{\rho g\sin\alpha}{\mu}\,h.
Multiplicando por \mu:
\tau_w = \mu \cdot \frac{\rho g\sin\alpha}{\mu}\,h = \rho g\sin\alpha\,h.
Interpretação rápida: a tensão na parede é igual à componente da pressão hidrostática ao longo do plano multiplicada pela profundidade — resultado intuitivo para filme subindo com equilíbrio entre viscosidade e gravidade.

Passo 9

Fórmulas adicionais úteis (para prova): vazão por unidade de largura e relação com a espessura
Muitas questões pedem também a vazão por unidade de largura q; vale memorizar:
q = \int_{0}^{h} u(y)\,\mathrm{d}y = \frac{\rho g\sin\alpha}{3\mu}\,h^3.
Dessa expressão pode-se obter h se q for dado, resolvendo
h = \left(\frac{3\mu q}{\rho g\sin\alpha}\right)^{1/3}.
Essas fórmulas aparecem com frequência em provas e são fáceis de deduzir a partir do perfil u(y).

Resposta

u(y)=\dfrac{\rho g\sin\alpha}{2\mu}\,\bigl(2hy-y^{2}\bigr)\n
\tau_{w}=\rho g\sin\alpha\,h

Exercícios relacionados