Questão 1 Um líquido escoa num plano inclinado com escoamento laminar, em regime permanente, desenvolvido a uma certa distância do reservatório. Supondo escoamento bidimensional e desprezando o atrito com o ar, determinar:
a) O perfil de velocidade. [4 pontos]
b) A tensão no plano inclinado (tensão na parede). [1 pontos]
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para um líquido escoando num plano inclinado, em escoamento laminar, permanente, bidimensional e desenvolvido (desprezando atrito com o ar):
(a) determinar o perfil de velocidade u(y) (velocidade ao longo do plano, função da coordenada normal y);
(b) determinar a tensão no plano inclinado (tensão de cisalhamento na parede, \tau_w).
Informações e condições dadas/assumidas (retiradas do enunciado):
Escoamento laminar, permanente e desenvolvido (ou seja, sem variação de perfil na direção x do escoamento).
Bidimensional: as variáveis dependem somente de x e y, mas por desenvolvimento teremos dependência apenas de y.
Força que impulsiona o escoamento: componente da gravidade ao longo do plano, \rho g \sin\alpha, sendo \alpha a inclinação do plano.
Despreza-se o atrito com o ar; portanto, na superfície livre a condição de cisalhamento será de tensão nula.
Condições de contorno usuais: no plano (parede) existe não deslizamento (no-slip), logo u(0)=0; na superfície livre, \tau_{xy}(y=h)=0 (tensão de cisalhamento nula).
Objetos a determinar: u(y) para 0\le y\le h e \tau_w=\tau_{xy}(0).
Passo 2
Escolha coordenadas e escreva hipóteses matemáticas:
Eixo x: direção descendente ao longo do plano inclinado.
Eixo y: normal ao plano, com y=0 na parede e y=h na superfície livre do filme.
Escoamento desenvolvido e permanente implica que u=u(y) (não depende de x nem de t), e a componente normal v é desprezível para o perfil (só há variação em y).
Fluido newtoniano com viscosidade dinâmica \mu e densidade \rho.
Essas hipóteses permitem simplificar as equações de Navier–Stokes para a direção x.
Passo 3
Escrevendo a equação de momento na direção x e simplificando:
A equação de Navier–Stokes na direção x para escoamento incompressível, permanente e unidirecional é, em forma reduzida:
Agora, justificar que \partial p/\partial x=0: a superfície livre está à pressão atmosférica e não há variação de pressão ao longo do filme na direção x (assumimos filme fino e ausência de gradiente de pressão externo). Portanto:
Aplicar condição de superfície livre (cisalhamento nulo em y=h):
A tensão de cisalhamento é \tau_{xy}=\mu \, \mathrm{d}u/\mathrm{d}y. Na superfície livre, desprezando atrito do ar, a condição é \tau_{xy}(h)=0, ou seja \mathrm{d}u/\mathrm{d}y\big|_{y=h}=0. Usando a expressão de \mathrm{d}u/\mathrm{d}y obtida na integração:
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = -\frac{\rho g\sin\alpha}{\mu}\, y + \frac{C_1}{\mu}.
Impondo \mathrm{d}u/\mathrm{d}y\big|_{y=h}=0:
0 = -\frac{\rho g\sin\alpha}{\mu}\, h + \frac{C_1}{\mu} \quad\Rightarrow\quad C_1 = \rho g\sin\alpha\, h.
Passo 7
Substituir constantes e escrever o perfil final de velocidade:
Substituindo C_1 e C_2 em u(y):
u(y) = -\frac{\rho g\sin\alpha}{2\mu}\, y^2 + \frac{\rho g\sin\alpha\, h}{\mu}\, y.
Interpretação rápida: a tensão na parede é igual à componente da pressão hidrostática ao longo do plano multiplicada pela profundidade — resultado intuitivo para filme subindo com equilíbrio entre viscosidade e gravidade.
Passo 9
Fórmulas adicionais úteis (para prova): vazão por unidade de largura e relação com a espessura
Muitas questões pedem também a vazão por unidade de largura q; vale memorizar: