Dois balões X e Y estão conectados por uma tubulação reta de 15 cm e diâmetro de 5 cm . O interior os balões é preenchido com uma mistura gasosa de hidrogênio ( \mathrm{H}_{2} ) e metano \left(\mathrm{CH}_{4}\right), de diferentes concentrações nas mesmas condições a 0^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . A transferência se dá de X contendo 80 \% em moles de \mathrm{H}_{2} para Y onde existe 35 \% em moles de \mathrm{CH}_{4} . \mathrm{O} transporte se faz por contra difusão equimolecular. Determine o fluxo molar de \mathrm{H}_{2} através da tubulação que une os dois balões a partir da variação da pressão desse gás. Dados: D_{H 2, C H 4}=0,726 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} ; \mathrm{R}=82 \mathrm{~atm} . \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{gmol} . \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo molar de \mathrm{H}_2 através de uma tubulação que liga dois balões, usando a variação da pressão parcial desse gás. Dados fornecidos (pegados do enunciado):
  • comprimento da tubulação: L=15\\ \mathrm{cm}.
  • diâmetro da tubulação: d=5\\ \mathrm{cm}.
  • mistura binária: \mathrm{H}_2 e \mathrm{CH}_4, pressão total em ambos os balões P=1\\ \mathrm{atm} e temperatura T=0^\circ\mathrm{C}=273\\ \mathrm{K}.
  • composição em X: 80\% em moles de \mathrm{H}_2, ou seja x_{H_2,X}=0,80.
  • composição em Y: 35\% em moles de \mathrm{CH}_4, portanto x_{H_2,Y}=1-0,35=0,65.
  • difusividade binária: D_{H_2,CH_4}=0,726\\ \mathrm{cm^2/s}.
  • constante dos gases dada: R=82\\ \mathrm{atm\cdot cm^3/(gmol\cdot K)}.
O que se pede: o fluxo molar de \mathrm{H}_2 através da tubulação. Vou calcular primeiro o fluxo molar específico (fluxo por área) N_{H_2} e depois a vazão molar total \dot{n}_{H_2}=N_{H_2}\cdot A, onde A é a área da seção transversal do tubo.

Passo 2

Escolha do modelo e justificativa (didático e prático):
  • Como são apenas dois gases e há diferença de composição entre os balões, usa-se difusão binária.
  • O enunciado menciona “contra difusão equimolecular” (equimolecular counter-diffusion). Isso significa que não há fluxo convectivo total (fluxo total molar nulo) e as espécies difundem em sentidos opostos com fluxos molares iguais em módulo. Nesse caso a expressão de Fick para estado estacionário e sem fluxo convectivo total simplifica.
  • Para gás ideal, a concentração total é constante (mesma P e T), logo podemos usar a relação entre gradiente de pressão parcial e gradiente de concentração para obter o fluxo.

Passo 3

Fórmula básica (aula rápida):
  • Fick (1ª lei) para difusão binária em condição sem fluxo convectivo total dá, em 1D,
N_A = -D_{AB}\,c\,\frac{d x_A}{dz},
onde
  • N_A é o fluxo molar de espécie A (aqui A\equiv\mathrm{H}_2) em \mathrm{gmol/(cm^2\cdot s)},
  • D_{AB} é a difusividade binária em \mathrm{cm^2/s},
  • c é a concentração molar total em \mathrm{gmol/cm^3},
  • x_A é a fração molar de A,
  • z é a coordenada ao longo do tubo.
  • Para gás ideal: c=\dfrac{P}{R T}. Além disso c\,dx_A = \dfrac{1}{R T}\,dp_A, porque p_A = x_A P e P é constante. Assim podemos escrever o fluxo em função do gradiente de pressão parcial:
N_{H_2} = -\frac{D_{H_2,CH_4}}{R T}\,\frac{p_{H_2}(L)-p_{H_2}(0)}{L},
onde p_{H_2}(0) é a pressão parcial no extremo z=0 (balão X) e p_{H_2}(L) no extremo z=L (balão Y). Explicando cada símbolo:
  • p_{H_2}(0)=x_{H_2,X}\,P,
  • p_{H_2}(L)=x_{H_2,Y}\,P,
  • L é o comprimento do tubo.
Nota: o sinal indica direção; se p_{H_2}(X)>p_{H_2}(Y) então N_{H_2}>0 no sentido X→Y.

Passo 4

Cálculo das pressões parciais de \mathrm{H}_2 nos dois balões:
p_{H_2,X}=x_{H_2,X}\,P=0,80\times1{,}0\\ \mathrm{atm}=0{,}80\\ \mathrm{atm},
p_{H_2,Y}=x_{H_2,Y}\,P=0,65\times1{,}0\\ \mathrm{atm}=0{,}65\\ \mathrm{atm}.
Diferença de pressão parcial (Y menos X):
\Delta p_{H_2}=p_{H_2,Y}-p_{H_2,X}=0{,}65-0{,}80=-0{,}15\\ \mathrm{atm}.
(A variação negativa indica queda de pressão parcial de X para Y; o fluxo de \mathrm{H}_2 irá no sentido X→Y.)

Passo 5

Substituindo na fórmula do passo 3 para obter o fluxo molar por área N_{H_2}.
N_{H_2} = -\frac{D_{H_2,CH_4}}{R T}\cdot\frac{\Delta p_{H_2}}{L}.
Agora coloco os números (atenção às unidades; todos em cm, atm, K, gmol):
D_{H_2,CH_4}=0{,}726\\ \mathrm{cm^2/s},\quad R=82\\ \mathrm{atm\cdot cm^3/(gmol\cdot K)},\quad T=273\\ \mathrm{K},\quad L=15\\ \mathrm{cm},
\Delta p_{H_2}=p_{H_2,Y}-p_{H_2,X}=-0{,}15\\ \mathrm{atm}.
Calculemos o numerador e denominador separadamente:
\text{numerador}= -D_{H_2,CH_4}\,\Delta p_{H_2}= -0{,}726\times(-0{,}15)=0{,}1089\\ \mathrm{atm\cdot cm^2/s}.
\text{denominador}=R T L = 82\times273\times15 = 335\,790\\ \mathrm{atm\cdot cm^4/(gmol)}.
Logo
N_{H_2}=\frac{0{,}1089}{335\,790}=3{,}24\times10^{-7}\\ \mathrm{gmol/(cm^2\cdot s)}.
Interpretação: esse é o fluxo molar específico (por unidade de área) de \mathrm{H}_2 no sentido X→Y.

Passo 6

Agora calculo a vazão molar total \dot{n}_{H_2} através da tubulação, multiplicando N_{H_2} pela área da seção transversal do tubo:
A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\pi\left(\frac{5\\ \mathrm{cm}}{2}\right)^2=\pi(2{,}5\\ \mathrm{cm})^2=\pi\times6{,}25\\ \mathrm{cm^2}=19{,}63495\\ \mathrm{cm^2}.
\dot{n}_{H_2}=N_{H_2}\,A = 3{,}24\times10^{-7}\times19{,}63495 \approx6{,}36\times10^{-6}\\ \mathrm{gmol/s}.

Passo 7

Arredondamentos e sentido do fluxo:
  • Fluxo por área: N_{H_2}\approx3{,}24\times10^{-7}\\ \mathrm{mol/(cm^2\cdot s)}.
  • Vazão molar total: \dot{n}_{H_2}\approx6{,}36\times10^{-6}\\ \mathrm{mol/s}.
    O sinal positivo indica transporte de \mathrm{H}_2 do balão X (mais rico em \mathrm{H}_2) para o balão Y (menos rico), conforme esperado.
Força final de ânimo: deu trabalho, mas é direta a aplicação de Fick com gás ideal — você já tem o passo a passo para aplicar em outros problemas parecidos. Vamos pra prova que você manda bem!

Resposta

N_{H_2}=3{,}24\times10^{-7}\\ \mathrm{gmol/(cm^2\cdot s)}
\dot{n}_{H_2}=6{,}36\times10^{-6}\\ \mathrm{gmol/s}

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